不定方程（组）

一、核心概念

你可能在想，什么是“不定方程”？听起来很复杂，但其实它源于我们的生活。

举个例子： 假设你去小卖部买东西，带了20元钱，想买单价3元/支的签字笔和单价2元/块的橡皮。两种都想买，要把钱正好花完，那么你可以买几支笔，几块橡皮呢？

我们不妨设买签字笔 x 支，买橡皮 y 块。根据题意，可以列出方程： $3x + 2y = 20$

观察这个方程，它有两个未知数（x 和 y），但只有一个方程式。在数学上，未知数的个数多于独立方程个数的方程，就叫做“不定方程”。

在实数范围内，这样的方程有无数多组解。但在公务员考试中，题目通常会隐藏一些限制条件，最常见的就是要求未知数是正整数（比如这里的笔和橡皮只能是正整数支/块）。这个条件，就是我们解题的突破口。

我们来试试解上面这个方程： 因为 x 和 y 都必须是正整数，我们可以从数量较少的那个未知数开始尝试：

• 如果买1支笔 (x=1)：$3 \times 1 + 2y = 20 \Rightarrow 2y = 17$。y 不是整数，排除。
• 如果买2支笔 (x=2)：$3 \times 2 + 2y = 20 \Rightarrow 2y = 14 \Rightarrow y = 7$。这是一个解！方案一：2支笔，7块橡皮。
• 如果买3支笔 (x=3)：$3 \times 3 + 2y = 20 \Rightarrow 2y = 11$。y 不是整数，排除。
• 如果买4支笔 (x=4)：$3 \times 4 + 2y = 20 \Rightarrow 2y = 8 \Rightarrow y = 4$。这也是一个解！方案二：4支笔，4块橡皮。
• 如果买5支笔 (x=5)：$3 \times 5 + 2y = 20 \Rightarrow 2y = 5$。y 不是整数，排除。
• 如果买6支笔 (x=6)：$3 \times 6 + 2y = 20 \Rightarrow 2y = 2 \Rightarrow y = 1$。这还是一个解！方案三：6支笔，1块橡皮。
• 如果买7支笔 (x=7)：$3 \times 7 + 2y = 20 \Rightarrow 2y = -1$。y 是负数了，不符合实际，打住！

你看，即使有了“正整数”这个限制，我们还是找到了3组解。所以，考试真题通常还会给出其他条件（比如“总共买了10件商品”），帮助我们将答案锁定到唯一解。

核心思想总结：解不定方程，本质上就是利用题目中明示或暗示的限制条件（如整数解、数字特性、特定范围等），将无限解变为有限解，最终找到唯一符合题意的答案。接下来，我们将学习几种快速锁定答案的技巧。

二、真题讲解

1. 尾数法

适用场景：当方程中某个未知数的系数是5或10的倍数时，优先考虑尾数法。因为乘以5或10后，结果的尾数有非常明确的规律（0或5）。

例题1： 超市将99个苹果装进两种包装盒，大包装盒每个装12个苹果，小包装盒每个装5个苹果，共用了十多个盒子刚好装完。问两种包装盒相差多少个?

• A. 3
• C. 7
• B. 4
• D. 13

2. 因子倍数法

适用场景：当常数项和某个（或多个）未知数的系数有公约数时，可以推断出剩余项也必然是这个公约数的倍数。

例题1： 设a，b均为正整数，且有等式 $11a+7b=132$ 成立，则a的值为

• A. 6
• C. 4
• B. 3
• D. 5

例题2： 小张的孩子出生的月份乘以 29，出生的日期乘以 24，所得的两个乘积加起来刚好等于 900。问孩子出生在哪一个季度？

• A．第一季度
• B．第二季度
• C．第三季度
• D．第四季度

3. 奇偶特性

适用场景：当方程中系数存在多个偶数，或可通过奇偶性快速判断未知数的性质时。核心公式：

• 偶 + 偶 = 偶, 偶 - 偶 = 偶
• 奇 + 奇 = 偶, 奇 - 奇 = 偶
• 奇 + 偶 = 奇, 奇 - 偶 = 奇

例题1： 20人乘飞机从甲市前往乙市，总费用为27000元。每张机票的全价票单价为2000元，除全价票之外，该班飞机还有九折票和五折票两种选择。每位旅客的机票总费用除机票价格之外，还包括170元的税费。则购买九折票的乘客与购买全价票的乘客人数相比

• A. 两者一样多
• B. 买九折票的多1人
• C. 买全价票的多2人
• D. 买九折票的多4人

4. 代入排除法

适用场景：当题目所求的未知数直接出现在选项中时，代入排除法往往是最直接、最快速的解题方式。

例题1： 某学校组织一次教工接力比赛，共准备了25件奖品分发给获得一、二、三等奖的职工，为设计获得各级奖励的人数，制定两种方案：若一等奖每人发5件，二等奖每人发3件，三等奖每人发2件，刚好发完奖品；若一等奖每人发6件，二等奖每人发3件，三等奖每人发1件，也刚好发完奖品，则获得二等奖的教工有多少人？

• A. 6
• C. 4
• B. 5
• D. 3

5. 消元法

适用场景：当题目给出两个或以上的方程（即不定方程组）时，通过消元，减少未知数的数量，将复杂问题简单化。

例题1： 某地遭受大自然灾害后，A公司立即组织捐款救灾。已知该公司有100名员工捐款，捐款额有300元、500元和2000元三种，捐款总额为36000元，则捐款500元的员工数是

• A. 11 人
• C. 13 人
• B. 12 人
• D. 14 人

6. 整体思想（配系数法/加减消元法）

适用场景：当方程组的系数有特定关系，通过简单的加减乘除运算，可以直接得到目标整体（如 x+y+z）的值，而无需单独求出每个未知数。

例题1： 小刚买了3支钢笔，1个笔记本，2瓶墨水花去35元钱，小强在同一家店买同样的5支钢笔，1个笔记本，3瓶墨水花去52元钱，则买1支钢笔，1个笔记本，1瓶墨水共需（ ）元。

• A. 9
• C. 15
• B. 12
• D. 18

例题2： 甲买了3支签字笔、7支圆珠笔和1支铅笔，共花了32元，乙买了4支同样的签字笔、10支圆珠笔和1支铅笔，共花了43 元。如果同样的签字笔、圆珠笔、铅笔各买一支，共用多少钱?

• A. 21 元
• C. 10 元
• B. 11 元
• D. 17 元

三、技巧总结

看不定方程，就像一个聪明的侦探在破案，而上面学习的各种方法，就是你的破案工具箱。何时使用何种工具，是提高解题速度的关键。

1. 首选特值法（代入排除）：

   • 何时用：当题目是选择题，且选项直接给出了某个未知数的值时，这是最快的“捷径”。直接将选项代入验证，满足所有条件即为正确答案。
   • 优点：简单、直接、粗暴有效。

2. 紧盯特征数（尾数法）：

   • 何时用：方程中出现了 5x 或 10x 这样的项。
   • 思路：利用乘积的尾数只有 0 或 5 这一特性，反推出其他项的尾数，从而大大缩小未知数的取值范围。

3. 寻找公因子（因子倍数法）：

   • 何时用：方程中，常数项和某一项或几项的系数，有明显的公约数。
   • 思路：a+b=c，如果 a 和 c 都能被 n 整除，那么 b 也一定能被 n 整除。利用这个性质，可以确定未知数的倍数关系。

4. 分辨奇与偶（奇偶特性法）：

   • 何时用：方程的系数和常数，奇偶性分布很有特点时。
   • 思路：利用 偶±偶=偶、奇±奇=偶、奇±偶=奇 的基本规则，判断未知数必须是奇数还是偶数，排除掉一半的可能性。

5. 多方程处理（消元法）：

   • 何时用：题目给出了两个或以上的方程，形成了不定方程组。
   • 思路：通过加减消元，减少未知数的个数，把三元变二元，二元变一元，化繁为简。

6. 求解整体值（配系数/加减法）：

   • 何时用：题目不要求单个未知数的值，而是求它们的和、差等一个整体表达式的值。
   • 思路：通过对整个方程进行乘除和加减，凑出目标表达式，实现“整体求解”。

实战建议：拿到一道题，先别急着埋头计算。花几秒钟审视一下方程的特点，看看它更符合哪个工具的使用场景，选择最高效的方法，才能在考场上克敌制胜！

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