计数杂题

计数问题在行测中看似“杂乱无章”，但实际上背后都蕴含着清晰的数学逻辑。本章节将为您梳理几种常见的计数杂题，通过“核心概念解读 + 真题剖析 + 技巧总结”的模式，帮助您掌握这类题目的命脉。

一、循环周期问题

核心概念

循环周期问题，本质上是考察我们对“最小公倍数”的理解和应用。生活中的许多现象都具有周期性，比如我们的星期、生肖，再比如两个不同班次的公交车总会以一个固定的时间间隔在同一个车站相遇。

推导与理解： 想象一下，小明每3天去一次健身房，小红每4天去一次。如果他们今天（第1天）都在健身房相遇了，下一次相遇会是哪天？

• 小明的健身日：第1天、第4天、第7天、第10天、第13天... (间隔3天)
• 小红的健身日：第1天、第5天、第9天、第13天... (间隔4天)

这里要注意一个易错点：“每隔N天”和“每N天”是不同的。

• 每隔2天：意味着中间有2天的间隔，实际周期是 2 + 1 = 3 天。
• 每3天：意味着周期就是3天。

回到问题，小明是每3天去一次，小红是每4天去一次。我们要找的下一次相遇时间，其实就是他们各自周期 3 和 4 的最小公倍数。

• 3的倍数：3, 6, 9, 12, 15...
• 4的倍数：4, 8, 12, 16...

他们的最小公倍数是12。所以，他们会在12天后再次相遇。如果今天是1号，那么下次相遇就是13号。这就是循环周期问题的核心。

真题讲解

例1：（最小公倍数应用） 某政府机关内甲、乙两部门通过门户网站定期向社会发布消息，甲部门每隔两天、乙部门每隔3天有一个发布日，节假日无休。问甲、乙两部门在一个自然月内最多有几天同时为发布日？

• A．5
• B．2
• C．6
• D．3

技巧总结

1. 准确转换周期：“每隔N天”的周期是 N+1 天。
2. 求解联合周期：计算各个周期的最小公倍数。
3. 计算次数：在总时间内，看联合周期能循环几次。求最多次数时，可以假设从第1天开始。

二、日期问题

核心概念

日期问题主要围绕“星期”和“平闰年”展开。

1. 平年与闰年

   • 平年：365天，2月有28天。
   • 闰年：366天，2月有29天。
   • 判断方法：
     • 普通年份：能被4整除但不能被100整除的是闰年（如2024年）。
     • 世纪年份：能被400整除的是闰年（如2000年）。

2. 星期计算（核心：余数法） 星期是以7天为一个循环。要计算一个日期是星期几，最核心的方法是计算总天数与7的余数。

   • 公式：$星期几 = (已知日期星期 + 间隔天数) \pmod 7$
   • 例如：如果今天（4月10日）是星期三，那么50天后是星期几？
     • 间隔天数是50天。
     • $50 \div 7 = 7 \dots\dots 1$
     • 余数是1，所以在星期三的基础上加1天，就是星期四。

真题讲解

例1：（星期与工作日推算） 根据国务院办公厅部分节假日安排的通知，某年8月份有22个工作日，那么当年的8月1日可能是：

• A. 周一或周三
• B. 周三或周日
• C. 周一或周四
• D. 周四或周日

三、比赛问题

核心概念

比赛问题主要分为两大类：单循环赛和淘汰赛。

1. 单循环赛 (Round-Robin)

   • 定义：每个队伍都要和其他所有队伍比赛一场。
   • 核心：这是一个组合问题。从 N 支队伍中，任意挑选2支进行比赛。
   • 公式：总比赛场数 = $\binom{N}{2} = \frac{N \times (N-1)}{2}$
   • 例子：有4支球队（A, B, C, D）打单循环赛，总共要打几场？
     • A vs B, A vs C, A vs D
     • B vs C, B vs D
     • C vs D
     • 总共 3 + 2 + 1 = 6 场。
     • 套用公式：$\frac{4 \times (4-1)}{2} = \frac{12}{2} = 6$ 场。

2. 淘汰赛 (Knock-out)

   • 定义：输一场就淘汰，直到决出唯一的冠军。
   • 核心：要从 N 支队伍中决出1个冠军，就必须淘汰掉 N-1 支队伍。
   • 公式：总比赛场数 = $N - 1$
   • 轮空：当参赛队伍数量不是2的幂次方（如2, 4, 8, 16...）时，就会出现“轮空”现象，即有的队伍不用比赛直接进入下一轮。轮空发生在奇数队参加的轮次。

真题讲解

例1：（单循环赛问题） 某高校学生处要在大一新生中组织篮球比赛，赛制为单循环形式，即每两个队之间都赛一场，如果学生处计划安排21场比赛，则应邀请多少支球队参加比赛?

• A．5
• B．8
• C．7
• D．6

例2：（淘汰赛及轮空问题） 某羽毛球赛共有23支队伍报名参赛，赛事安排23支队伍抽签两两争夺下一轮的出线权，没有抽到对手的队伍轮空，直接进入下一轮。那么，本次羽毛球赛最后共会遇到多少次轮空的情况？

• A. 1
• B. 2
• C. 3
• D. 4

四、钟表问题

核心概念

钟表问题是伪装成“行程问题”的特殊题型，关键在于理解时针和分针的速度差。

1. 速度关系（角速度）

• 分针：60分钟走一圈（360°），速度为 $360 \div 60 = 6$ 度/分钟。
• 时针：12小时（720分钟）走一圈（360°），速度为 $360 \div 720 = 0.5$ 度/分钟。
• 速度差：分针每分钟比时针多走 $6 - 0.5 = 5.5$ 度。这是解决所有追及、相遇、成特定角度问题的核心。

2. 重要公式

• 任意时刻夹角公式：$\theta = |30h - 5.5m|$
  • 其中 h 为小时数，m 为分钟数。夹角大于180度时，取 $360 - \theta$。
• 追及问题（重合）：从一次重合到下一次重合，分针需要比时针多走360°。
  • 重合时间间隔 = $360^\circ \div 5.5^\circ/\text{分钟} = \frac{720}{11} \approx 65.45$ 分钟。
  • 在12小时内，时针和分针会重合11次。

真题讲解

例1：（特定角度计算） 从12时到13时，钟的时针与分针可成直角的机会有几次？

• A. 1 次
• B. 2 次
• C. 3 次
• D. 4 次

例2：（频率统计问题） 钟表有一个时针和一个分针，分针每一小时转360度，则24小时内时针和分针成直角共有多少次?

• A. 28
• B. 36
• C. 44
• D. 48

五、页码问题

核心概念

页码问题主要围绕“页码的数字构成”和“页码的连续性”展开。

1. 页码字符数（数字个数） 这是最常考的题型，即计算从第1页到第N页总共用了多少个数字字符。

   • 1位数页码（1-9页）：共9页，每页1个数字。总计 $9 \times 1 = 9$ 个数字。
   • 2位数页码（10-99页）：共 $99 - 10 + 1 = 90$ 页，每页2个数字。总计 $90 \times 2 = 180$ 个数字。
   • 3位数页码（100-999页）：共 $900$ 页，每页3个数字。总计 $900 \times 3 = 2700$ 个数字。

2. 页码与纸张的关系

   • 一张纸有正反两面，对应2个页码。
   • 页码必定是连续的，且正面是奇数，反面是偶数（如第1页和第2页在同一张纸上）。
   • 因此，一张纸撕下，其对应的两个页码之和必为奇数。
     • 例如：撕下第1、2页，和为3。撕下第15、16页，和为31。

真题讲解

例1：（页码字符数计算） 编排一本书的书页，用了270个数字（重复的也算，如页码115用了2个1和1个5共3个数字），问这本书一共多少页？

• A. 117
• B. 126
• C. 127
• D. 189

例2：（特定数字出现次数） 一本数学辅导书共有200页，编上页码后，问数字“1”在页码中出现了多少次？

• A. 100
• B. 121
• C. 130
• D. 140

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