空瓶换酒问题

一、核心概念

空瓶换酒问题是公务员考试行测中的经典题型，它考察的是考生在资源循环利用场景下的计算和逻辑推理能力。这类题目通常描述为用 M 个空瓶可以免费兑换一瓶新的酒水。

其核心在于理解每一次“换酒”行为的价值交换本质。

我们用一个生活中的例子来推导这个核心公式。

假设小明去小卖部买汽水，老板规定：“集齐4个空瓶，就能免费换1瓶新的汽水”。

现在我们分析一下小明换汽水的过程：

从整个过程来看，小明付出了4个空瓶，最后得到了1瓶汽水和1个空瓶。我们可以列出等式：

$4\text{个旧空瓶} = 1\text{瓶汽水} + 1\text{个新空瓶}$

为了算出喝掉一瓶汽水到底“消耗”了多少个空瓶，我们把等式两边的“空瓶”移到一边：

$4\text{个旧空瓶} - 1\text{个新空瓶} = 1\text{瓶汽水}$ $\Rightarrow 3\text{个空瓶} = 1\text{瓶汽水}$

这就意味着，虽然规则是“4换1”，但实际上，我们每喝到一瓶免费的汽水，净消耗的只是3个空瓶。

因此，我们可以得出核心公式：如果规定 $M$ 个空瓶换1瓶酒，那么实际上相当于用 $M-1$ 个空瓶就能换到1瓶酒的纯收益（即喝掉酒水本身）。

空瓶换酒问题主要有两种考察方式：

正向计算：已知初始购买或拥有的空瓶数，求最多能喝到多少瓶酒。
- 核心公式：可额外换取酒的数量 ≈ 初始空瓶数 / (M-1)
逆向计算：已知总共喝掉的酒水数量，求最少需要花钱购买多少瓶。
- 核心公式：设购买了 x 瓶，则总共能喝 T 瓶。它们的关系是：x + floor(T / M) = T 或 x + floor(x / (M-1)) ≈ T。

例1： 12个啤酒空瓶可以免费换1瓶啤酒，现有101个啤酒空瓶，最多可以免费喝到的啤酒为？

例2： “红星”啤酒开展“7个空瓶换1瓶啤酒”的优惠促销活动。现在己知张先生在活动促销期间共喝掉347瓶“红星”啤酒，问张先生最少用钱买了多少瓶啤酒？

例3：商店规定，4个空汽水瓶可以换一瓶汽水。小明有20元钱，每瓶汽水2元。问小明最多可以喝到多少瓶汽水？

例4：某商店规定9个空瓶可以换2瓶饮料，饮料售价为2.9元/瓶。某人现有58元和8个空瓶，问他最多可以喝到多少瓶饮料？

首选 M-1 模型：遇到“M个空瓶换1瓶酒”的问题，立刻转化为“净消耗 M-1 个空瓶，得到1瓶酒的享受”，这是解题的黄金法则，能极大提高计算速度。
分清题型：
- 正向计算（给钱/瓶，求最多喝多少）：总数 ≈ 购买数 + 购买数 / (M-1)。当结果不确定时，用逐步兑换法或方程验证法 (T = 买 + floor(T/M))来核算，确保无误。
- 逆向计算（给总喝数，求最少买多少）：购买数 = 总喝数 - floor(总喝数 / M)，或解方程 x + x/(M-1) ≈ 总喝数。
灵活处理特殊规则：
- n换k问题：先将规则等效转化为 n/k 换 1，即 M' = n/k，再套用 M'-1 模型。
- 借瓶问题：题目明确说明或暗示可以“借瓶”时，通常意味着可以把所有资源利用到极致。但在标准考题中，除非明确指出，否则应以逐步兑换法为准，因为该方法最能真实模拟交易的限制。
终极核验：无论用何种技巧，如果时间允许，方程验证法 (T = 购买数 + floor(T/M)) 是检验最终答案 T 是否正确的最佳手段。

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