溶液问题

溶液问题是公务员考试行测中数量关系模块的常见题型。这类问题看似复杂，但只要掌握了核心概念和解题技巧，就能够轻松应对。本章将带你深入理解溶液问题的本质，并通过实例讲解，助你掌握高效的解题方法。

一、核心概念

1. 基本概念：溶质、溶剂与溶液

为了更好地理解，我们以一杯蜂蜜水为例。

• 溶质: 被溶解的物质。在我们的例子中，就是蜂蜜。
• 溶剂: 用来溶解溶质的物质。在这个例子中，就是水。在行测题目中，溶剂通常是水。
• 溶液: 溶质和溶剂混合后形成的均匀混合物。也就是整杯蜂蜜水。

这三者之间的质量关系非常简单：

2. 核心概念：浓度

浓度是衡量溶液中溶质含量的重要指标。

• 浓度: 溶质质量占溶液总质量的百分比。

• 计算公式:

  $$\text{浓度} = \frac{\text{溶质}}{\text{溶液}} \times 100\%$$

  展开后也可以写成：

  $$\text{浓度} = \frac{\text{溶质}}{\text{溶质} + \text{溶剂}} \times 100\%$$

3. 核心工具：十字交叉法

十字交叉法是解决两种溶液混合问题的"神器"。它可以将复杂的比例计算转化为简单的交叉相乘。

(1) 公式推导

假设我们有两杯不同浓度的咖啡，要混合成一杯新咖啡。

• A咖啡: 质量为 $m_A$，浓度为 $c_A$。
• B咖啡: 质量为 $m_B$，浓度为 $c_B$。
• 混合咖啡: 混合后得到的总质量为 $m_A + m_B$，新浓度为 $r$。

根据"混合前后溶质总质量不变"的原则，我们可以列出以下等式：

现在，我们对这个等式进行变形，来推导出十字交叉法的公式：

整理后得到比例关系：

(2) 图示与口诀

这个比例关系可以形象地用一个图来表示，这就是"十字交叉法"名字的由来。

使用口诀:

1. 左边写部分: 将两种溶液的浓度 $c_A$ 和 $c_B$ 写在左边。
2. 中间写混合: 将混合后的浓度 $r$ 写在中间。
3. 交叉相减取绝对值: $c_A$ 与 $r$ 的差值写在右下角，$c_B$ 与 $r$ 的差值写在右上角。
4. 右边成比例: 右边的两个差值之比，就是两种溶液的质量之比。

二、真题讲解

基础混合问题

例题1 某饮料店有纯果汁（即浓度为100%）10千克，浓度为30%的浓缩还原果汁20千克。若取纯果汁、浓缩还原果汁各10千克倒入10千克纯净水中，再倒入10千克的浓缩还原果汁，则得到的果汁浓度为：

• A．40%
• B．37.5%
• C．35%
• D．30%

基础稀释问题

例题2 一次化学实验中，稀释一定量的盐水，在此盐水中加入100g水后，其浓度变为原来的80%，则原盐水质量为：

• A. 200g
• B. 300g
• C. 400g
• D. 500g

蒸发稀释问题

例题3 某工厂有一桶质量为100kg、浓度为10%的盐水，经过蒸发水分后，浓度变为12%。若再蒸发同样多的水分，则盐水的浓度为：

• A. 13%
• B. 15%
• C. 16%
• D. 18%

十字交叉法应用

例题4 有甲、乙两瓶盐水，其浓度分别为16%和25%，质量分别为600克和240克。若向这两瓶溶液中加入等量的水，使它们的浓度相同，则需要向这两瓶盐水中分别加入的水量为：

• A. 320克
• B. 360克
• C. 370克
• D. 377克

多种溶液混合问题

例题5 有三种浓度分别为30%、50%、80%的酒精溶液。现在要用这三种溶液调配出150克浓度为60%的酒精溶液，要求每种溶液至少用30克，问80%的溶液最多使用多少克？

• A. 70
• B. 72
• C. 78
• D. 90

反复稀释问题

例题6 现有一容器，装有100克浓度为75%的盐水，从中倒出40克盐水后，再加入40克纯净水，如此反复三次。问此时盐水的浓度是：

• A. 16.20%
• B. 9%
• C. 1.62%
• D. 0.90%

等量交换问题

例题7 甲容器中有浓度为20%的盐水300克，乙容器中有浓度为50%的盐水600克。现从甲容器中倒出一部分盐水到乙容器中，同时从乙容器中倒出等量的盐水到甲容器中。操作后，两容器中盐水的浓度相等。问从甲容器中倒出的盐水质量为多少克？

• A. 100克
• B. 120克
• C. 150克
• D. 180克

多次混合问题

例题8 现有浓度为70%的盐水100克。从中倒出40克，再加入40克浓度为20%的盐水，如此操作共5次后，问盐水的浓度在以下哪个范围内？

• A. 低于23%
• B. 在23%到25%之间
• C. 在25%到27%之间
• D. 高于27%

例题9 甲瓶中有50克浓度为80%的溶液，加水50克混合后倒出40克至空瓶乙中；再往甲瓶中加水40克，混合后又倒出40克至乙瓶中。最终乙瓶中溶液的浓度是：

• A. 38%
• B. 32%
• C. 26%
• D. 20%

三、技巧总结

在处理溶液问题时，记住以下核心原则和技巧，可以大大提高解题速度和准确率。

1. 核心原则：抓住不变量

溶液问题的核心在于"混合与稀释"，在这些变化过程中，总有一个量是保持不变的。

• 加水稀释：溶质的质量不变。
• 蒸发水分：溶质的质量不变。
• 加溶质：溶剂的质量不变。
• 混合溶液：混合前后，总的溶质质量和总的溶剂质量分别不变。
• 等量交换：两个容器的溶液总量分别不变。

2. 各类题型解题要点

(1) 蒸发稀释型

• 特征：蒸发溶剂（水），溶质质量不变，浓度增加
• 方法：
  • 赋值溶质为浓度公倍数（快速法）
  • 根据溶质守恒列等式（常规法）
• 公式：$\text{溶质质量} = \text{原溶液质量} \times \text{原浓度} = \text{新溶液质量} \times \text{新浓度}$

(2) 溶液混合型

• 特征：两种以上溶液混合成新浓度
• 方法：
  • 两种溶液：十字交叉法（最快）
  • 多种溶液：方程法或特值法
• 十字交叉法适用条件：已知两种溶液浓度和混合后浓度，求质量比

(3) 反复稀释型

• 特征：倒出部分溶液后加水补满，重复多次
• 公式：$\text{最终浓度} = \text{原浓度} \times (1-\text{倒出比例})^n$
• 推导：每次剩余溶质比例为$(1-\text{倒出比例})$
• 应用：当倒出比例和操作次数确定时，可直接套用公式

(4) 等量交换型

• 特征：两溶液等质量交换后浓度相同
• 方法：方程法（设交换质量为未知数）
• 最终浓度：$\frac{M_1 \times c_1 + M_2 \times c_2}{M_1 + M_2}$（其中$M_1$，$M_2$为两容器质量，$c_1$，$c_2$为初始浓度）

3. 解题口诀（升级版）

加糖水不变，加水糖不变； 蒸发水减少，溶质仍不变； 抓住不变量，不变应万变； 两两混合十字交，多次稀释有公式； 等量交换找平衡，特值方程加比例！

4. 方法选择指南

• 方程法：万能方法，思路直接，适用于所有题型
• 十字交叉法：专用于两种溶液混合，速度最快
• 特值法/赋值法：适用于有特殊数值关系的题目
• 公式法：适用于反复稀释等有规律的操作

5. 常见易错点

• 混淆溶质、溶剂、溶液的概念
• 计算浓度时分母用错（应该是溶液质量，不是溶剂质量）
• 多次操作时没有按步骤逐一计算
• 十字交叉法应用条件不当（仅适用于两种溶液混合）

通过对这些概念、技巧和典型题型的深入理解和反复练习，相信你一定能全面攻克溶液问题！

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