统筹规划

一、核心概念

统筹规划问题，其本质是在现有资源条件下，如何安排流程和调配资源以达到效率最大化（时间最短、成本最低、效率最高）。这类问题的核心在于识别并优化“瓶颈”环节，确保资源在整个流程中得到最有效的利用。

1. 烙饼问题 (时间规划)

“烙饼问题”是典型的时间规划模型。其核心思想是让负责加工的“机器”（例如饼铛）时刻保持满负荷运转，不出现空闲。

我们用一个生活中的例子来理解： 假设我们要用一个一次最多能烙2张饼的饼铛来烙饼，每面需要烙1分钟。

• 烙1张饼:

  • 第1分钟：烙正面。
  • 第2分钟：烙反面。
  • 总共需要2分钟。

• 烙2张饼:

  • 第1分钟：同时烙饼A和饼B的正面。
  • 第2分钟：同时烙饼A和饼B的反面。
  • 总共需要2分钟。

• 烙3张饼 (这是最优策略的关键):

  • 第1分钟：烙饼A和饼B的正面。(饼铛是满的)
  • 第2分钟：拿出烙好一面的饼A，放入饼C。烙饼B的反面和饼C的正面。(饼铛是满的)
  • 第3分钟：饼B已烙好，拿出。放入烙好一面的饼A。烙饼A的反面和饼C的反面。(饼铛是满的)
  • 总共需要3分钟。

通过这个过程，我们发现，只要合理安排，就可以让饼铛每一分钟都在工作，从而达到时间最短。我们可以推导出一般性的结论：对于一个容量为 k 的饼铛，烙 n 个饼（每面1分钟），总共需要烙 2n 个面，理论最短时间就是 $\frac{2n}{k}$。这个公式成立的前提是总能找到一种方法让饼铛时刻满负荷。

2. 资源优化配置 (人员分配问题)

资源优化配置问题，通常涉及将有限的“流动资源”（如维修工、车辆）分配给多个“固定点”（如需要维修的设备、工厂），目标是用最少的资源满足所有需求。

核心思想是“最坏情况原则”或“瓶颈思想”。我们需要为最极端、最繁忙的情况做好准备。

举个例子：一个小区有3栋楼需要保洁服务，但我们只有1组保洁人员。保洁人员可以流动。那么，我们就不需要为每栋楼都配一组人。我们只需要1组人，他们按顺序打扫即可。

因此，解题的关键是：找出需求量最大的前 m 个点（m 为流动资源数量），它们的需求之和，就是我们至少需要准备的总资源量。 设 X 个工厂，Y 辆车：

• 当 X > Y 时: 最少人数 = 需求最多的 Y 个工厂人数之和。
• 当 X ≤ Y 时: 最少人数 = 所有工厂需求人数之和。

3. 排队打水问题

排队打水问题是典型的排序优化问题，核心目标是最小化所有人的总等待时间（从开始排队到打完水为止的总时间）。

核心原则非常简单：打水耗时越短的人，越应该排在前面。

假设有 n 个人排队打水，他们各自的打水时间按从小到大排序后为 $t_1, t_2, \dots, t_n$。那么，总的等待时间 T 为： $T = t_1 \times n + t_2 \times (n-1) + \dots + t_n \times 1$ 这个公式可以表示为求和形式： $T_{min} = \sum_{i=1}^{n} t_i \times (n - i + 1)$ 这个公式的逻辑是，排在第1位的人，他的打水时间被后面所有 n-1 个人以及他自己总共 n 个人等待了；排在第2位的人，他的打水时间被剩下的 n-1 个人等待了，以此类推。

4. 货物集中问题

货物集中问题要求计算将分散在不同地点的货物集中到某一处时的最小运输成本（通常以“吨·公里”为单位）。

核心原则是：轻的往重的一侧靠拢，仓库选址点在中间位置附近。 具体操作步骤：

1. 画线标点：将所有仓库（或货物点）按位置在一条直线上标出。
2. 寻找中点：从线段的一端开始，累加货物的重量，直到累计重量首次达到或超过总重量的一半，这个点就是最优的集中点。
3. 特殊情况：如果所有点不在一条直线上（非路径问题），则遵循“轻往重靠”的原则。比较任意点两侧的货物总重量，轻的一侧货物应该向重的一侧移动。

5. 空瓶换酒问题

空瓶换酒问题考察的是循环兑换和资源再利用。

核心公式是：最多能喝到的饮料数 = 初始饮料数 + 后续兑换到的饮料数。 如果用 y 个空瓶可以换 1 瓶新饮料，那么相当于我们用 y-1 个空瓶的“代价”就换来了 1 份纯饮料（不含瓶子）。 假设最初有 x 瓶水（即 x 个空瓶），y 个空瓶换 1 瓶酒，那么最多能喝到的总数 z 是： $z = x + \left\lfloor \frac{x}{y - 1} \right\rfloor$ 易错点：当 x 恰好是 y-1 的倍数时，最后一次兑换会因为没有空瓶可以抵押而无法成功，此时需要“借瓶子”，结果要减1。但公务员考试中通常不涉及这么复杂的情况，直接用公式即可。

二、真题讲解

主题1：时间统筹与并行任务

例1 (烙饼问题) 用一个饼铛烙煎饼，每次饼铛上最多只能同时放两个煎饼，煎熟一个煎饼需要2分钟的时间，其中每煎熟一面需要一分钟。如果需要煎熟15个煎饼，至少需要多少分钟？

• A. 14
• C. 16
• B. 15
• D. 30

例2 (2023联考-时间统筹) 小张要沏茶待客，现有：一个开水壶（容积不大，烧开一壶水需要15分钟），一个炉子，一个茶壶，一个茶杯，茶叶若干。洗茶壶需要1分钟，洗茶杯需要1分钟，拿茶叶需要2分钟。请问小张要让客人尽早喝上茶，最少需要多少分钟？

• A. 15
• B. 16
• C. 17
• D. 18

主题2：资源优化配置 (人员分配)

例3 一个车队有三辆汽车，担负着五家工厂的运输任务，这五家工厂分别需要 7、9、4、10、6 名装卸工， 共计36名。如果安排一部分装卸工跟车装卸，则不需要那么多装卸工，而只需要在装卸任务较多的工厂再安排一些装卸工就能完成任务。那么在这种情况下，总共至少需要多少名装卸工才能保证各厂的装卸需求？

• A. 26
• C. 28
• B. 27
• D. 29

主题3：排队打水问题

例4 甲、乙、丙、丁四个人去一个水龙头打水，他们打水所需要的时间分别是2分钟、3分钟、4分钟、5分钟。现在只有一个水龙头可用，问怎样安排打水次序，可以使四个人总的等候时间最短？最短时间是多少分钟？

• A. 30
• B. 32
• C. 34
• D. 36

主题4：货物集中问题

例5 (2017国考) 一条公路上有5个仓库，A、B、C、D、E，每相邻两个仓库之间相距100公里。其中A仓库存有10吨货物，B仓库存有20吨货物，E仓库存有40吨货物，C、D仓库为空。现在需要把所有货物集中到一个仓库里，如果每吨货物运输1公里花费0.5元，那么最少需要花费多少运费？

• A. 4500元
• B. 5000元
• C. 5500元
• D. 6000元

主题5：空瓶换酒问题

例6 (2020甘肃) 假如某地规定12个空水瓶可以换1瓶水，现有101个空水瓶，那么最多可以喝到多少瓶水？

• A. 9
• B. 10
• C. 11
• D. 12

三、技巧总结

1. 时间规划问题（烙饼、沏茶）：核心是“让关键设备不停歇”和“任务并行”。

   • 烙饼：直接用公式 最短时间 = 总工作量 / 单次效率 (例如：总面数 / 饼铛每分钟烙的面数)。
   • 工序优化（沏茶）：找出耗时最长的“关键路径”，在执行关键路径任务的同时，穿插进行其他非关键任务。总时间取决于关键路径的耗时。

2. 资源优化问题（人员分配）：核心是“应对最坏情况”。找出需求量最大的前 m 个点（m 为流动资源数），将它们的需求量相加，即为所求。

3. 排序优化问题（排队打水）：核心是“短者优先”，耗时短的单位排在前面，可以使总的等待（或占用）时间最短。

4. 路径优化问题（货物集中）：核心是“选对中点，轻往重靠”。将货物集中到总重量的中点，可以使总的运输成本最低。

5. 循环兑换问题（空瓶换酒）：核心是“计算净消耗”。y 个空瓶换1瓶酒，相当于用 y-1 个瓶子的代价换来了1份纯酒。用总瓶数除以 y-1，即可得到能“白嫖”的酒数。

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