天平问题

一、核心概念

天平问题主要分为两大类：一是利用天平和有限的砝码进行精确称量；二是利用天平从一堆物品中找出重量异常的瑕疵品。

（一）测量问题

测量问题的核心在于“以物当码”，即把已经称量出来的物品当作新的砝码来使用，通过组合和置换，巧妙地凑出目标重量。

我们来看一个生活中的例子：

假设你是一个药店的学徒，师傅让你用一架天平和一个5克的砝码，从一堆药材中称出7克的药粉。你应该怎么做？

思考过程：

1. 我们只有一个5克的砝码，直接是称不出7克的。
2. 但是，我们可以利用天平的平衡原理。
3. 第一次称量：在天平的一端放上5克砝码，另一端放上药材，直到天平平衡。这时，我们得到了一份5克的药材。
4. 第二次称量：将5克砝码和刚才称好的5克药材放在天平的同一端（总重10克），然后在另一端继续加药材，直到天平平衡。这样，我们就得到了一份10克的药材。
5. 第三次称量：将刚才得到的10克药材放在天平一端，5克砝码放在另一端，然后从10克药材中不断取出一部分，加到5克砝码那端，直到天平平衡。此时，原本10克药材的一端变成了(10+5)/2 = 7.5克，不符合要求。
6. 换个思路，如果我们把5克砝码放在天平一端，然后将刚才称出的5克药材堆的一部分放在砝码这边，另一部分放在天平另一边，直到平衡，这在实际操作中是困难的。

正确的做法是利用天平两端重量相减的原理：

在天平的一端放置5g的砝码，在另一端放置药材使之平衡，得到5g药材。然后，将5g的砝码和5g的药材放在不同的盘里，再在5g砝码的盘中加入药材，使之与5g药材的盘平衡。这样，新加入的药材就是5g - 5g = 0g？这也不对。

正确的解法是利用已称出的重量。

1. 第一次：称出5g药材。现在我们有：5g砝码，5g药材。
2. 第二次：天平一端放5g砝码，另一端放5g药材。现在是平衡的。我们把所有药材都看成可操作的。我们把（5g砝码 + 5g药材）放到一端，称出10g药材。现在我们有5g, 10g药材。
3. 第三次：天平一端放（5g药材+10g药材），称出15g药材... 这种方法似乎很复杂。让我们回到最简单的称量。

正确思路：

1. 第1次：称出5克药材。
2. 第2次：将5克砝码和5克药材放于一托盘，称出10克药材。
3. 第3次：将5克砝码和10克药材放于一托盘，称出15克药材。
4. 第4次：将5克药材和10克药材放于一托盘，称出15克药材。 ... 这个问题的关键在于，我们能够称出的重量组合。 用一个5g砝码，我们可以称出5g的物品。 然后用5g物品当砝码，又可以称出5g。 用5g砝码和5g物品，可以称出10g。

实际上，如果砝码可以放在物品端，我们可以称量出 砝码重量 - 物品重量 的差值。但题目通常不允许这样做。所以核心还是“以物当码”。

（二）寻找瑕疵品

在行测考试中，这类问题通常是找“次品”或“正品”。其核心原理是“三分法”。

为什么是“3”？ 因为天平称量一次有三种可能的结果：左边重、右边重、一样重。每一种结果都提供给我们一定的信息，帮助我们缩小查找范围。

核心公式推导： 假设我们有M个物品，其中只有一个是次品（比如更重），我们要用N次称量找到它。

• 第1次称量：我们把M个物品分成A、B、C三堆。把A堆和B堆分别放在天平两端。
  • 如果天平倾斜（比如A重），说明次品在A堆。
  • 如果天平平衡，说明次品在剩下的C堆。
• 无论哪种结果，我们都把查找范围缩小到了原来的三分之一。
• N次称量后，我们相当于把范围缩小了N次。理想情况下，N次之后应该只剩下一个物品，它就是次品。
• 因此，M个物品，经过N次三分法筛选后，应满足： $M \times (\frac{1}{3})^N \le 1$
• 整理后得到我们的核心公式：$M \le 3^N$

这个公式意味着：用N次天平，最多可以从3^N个物品中找到那个重量不同的次品（已知偏重或偏轻）。

（三）不等臂天平问题

不等臂天平是指天平的左右两臂长度不相等。这类问题利用杠杆平衡原理来求解物体的真实质量。

核心原理： 根据杠杆平衡原理，当天平平衡时，左盘物品重量 × 左臂长 = 右盘物品重量 × 右臂长。

解题方法：两次称量法

1. 将物体放在左盘，在右盘加砝码使其平衡，记录砝码重量为 m₁。
2. 将物体放在右盘，在左盘加砝码使其平衡，记录砝码重量为 m₂。
3. 物体的真实重量 m 可以通过公式 $m = \sqrt{m_1 \times m_2}$ 计算得出。

二、真题讲解

主题1：测量划分问题

例1： 有一架天平，只有5克和30克的砝码各一个。现在要用这架天平把300克味精平均分成3份，那么至少需要称多少次？

• A. 3次
• B. 4次
• C. 5次
• D. 6次

主题2：寻找瑕疵品（已知轻重）

例2： 22个外表一样的彩球，其中有一个球的重量略重于其他球。现需用天平将该球找出。那么，在最优方案下，最多需要使用天平多少次？

• A. 3次
• B. 4次
• C. 5次
• D. 6次

例3： 有54个外表一样的硬币，其中有一个是假币，且假币略重于真币。现需用天平将该假币找出。那么，在最优方案下，至少需要使用天平多少次？

• A. 3次
• B. 4次
• C. 5次
• D. 6次

主题3：寻找瑕疵品（未知轻重）

当不知道次品是偏重还是偏轻时，问题的复杂性会增加。因为我们不仅要找到那个球，还要确定它是重了还是轻了。

核心公式：N次称量最多可以从 $\frac{3^N - 1}{2}$ 个物品中找出未知轻重的次品。

公式解读：N次称量共有3^N种结果组合。其中一种是“每次都平衡”，这种结果无法判断次品是轻是重，故排除，剩下3^N - 1种有效结果。每个物品可能是“偏重”或“偏轻”，共2M种可能性。因此，有效结果数必须能覆盖所有可能性，即 $3^N - 1 \ge 2M$。

例4： 有12个外表相同的小球，其中一个重量异常，但不知是偏重还是偏轻。问用一架无砝码的天平至少称几次，才能保证找出这个小球？

• A. 2次
• B. 3次
• C. 4次
• D. 5次

主题4：不等臂天平问题

例5： 用一架不等臂天平称一个物体的重量，第一次把物体放在左盘，在右盘放16克砝码天平平衡；第二次把物体放在右盘，在左盘放25克砝码天平平衡。求这个物体的实际重量是多少克？

• A. 18克
• B. 20克
• C. 22.5克
• D. 25克

三、技巧总结

1. 测量问题：核心技巧是“以物当码”。要灵活利用天平两侧的加减关系，将已称出的物品作为新的“砝码”，组合出目标重量。解题关键是设计出最高效的称量步骤。

2. 寻找瑕疵品（已知轻重）：直接套用公式 $M \le 3^N$。其中M是物品总数，N是称量次数。题目问最少次数，就是寻找满足不等式的最小N值。

3. 寻找瑕疵品（未知轻重）：使用公式 $M \le \frac{3^N - 1}{2}$。这是已知轻重情况的变种，难度稍大，不要记错公式。

4. 不等臂天平问题：当同一个物体在不等臂天平两端称量结果不同时（分别为m₁, m₂），其真实重量为 $m = \sqrt{m_1 \times m_2}$。

5. 审题是关键：解题前一定要看清是“测量问题”、“寻找瑕疵品问题”还是“不等臂天平问题”。瑕疵品问题还要分清是“已知轻重”还是“未知轻重”，选用正确的模型和公式。

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