第三节方阵问题

一、核心概念

同学们，我们想象一下学校开运动会，开幕式上有一个班级的同学组成了一个方队，这个方队整整齐齐，每一行和每一列的人数都完全相同。这就是我们今天要学习的“方阵”。方阵问题，本质上是研究一个正方形排列的元素的数量关系，其核心是等差数列的应用。

(一) 方阵的层级与基本公式

我们可以把方阵从外到内看作一层一层的“同心正方形”。

1. 每层总数计算公式

最外层有多少人呢？假设最外层每边有 n 个人。如果我们直接把四条边的人数相加 n+n+n+n = 4n，会发现一个问题：四个角上的同学被重复计算了两次（他既属于行，又属于列）。

因此，需要减去这4个被重复计算的人。

每层总数 = 每边人数 \times 4 - 4 = (每边人数 - 1) \times 4

2. 每边人数计算公式

根据上面的公式，我们可以很轻松地反推出每边的人数：

每边人数 = \frac{每层总数}{4} + 1

3. 实心方阵总人数

一个实心方阵，如果每边有 n 个人，那么它就是一个 n 行 n 列的方阵。

总人数 = 每边人数 \times 每边人数 = n^2

4. 空心方阵总数

空心方阵可以看作一个大实心方阵挖掉了一个小实心方阵。

方法一（减法思维）：总数 = 大实心方阵总数 - 被挖掉的内部小数目
方法二（等差数列求和）：空心方阵由若干层构成，每一层的人数构成一个公差为-8的等差数列（每向内一层，每边人数少2，总人数少 2 \times 4 = 8）。我们可以计算出每一层的人数再相加。
方法三（公式法）： $总数 = (最外层边长 - 层数) \times 层数 \times 4$

(二) 方阵的增减变化

1. 增加m行、n列的方阵，需要增加的人数

想象一个边长为 L 的方阵，现在我们要在它的基础上，右边增加 n 列，下边增加 m 行。

增加的 m 行，需要 L \times m 个人。
增加的 n 列，需要 L \times n 个人。
但是，右下角会多出一个 m \times n 的矩形区域，这部分也需要填满。 $增加人数 = 边长 \times (m + n) + mn$

2. 取消m行、n列的方阵，减少的人数

同样，从一个边长为 L 的方阵中，减去 m 行和 n 列。

减少的 m 行，共有 L \times m 个人。
减少的 n 列，共有 L \times n 个人。
但是，m行和n列交叉的地方有 mn 个人被重复计算了，所以需要加回来。 $减少人数 = 边长 \times (m + n) - mn$

二、真题讲解

主题1：实心方阵基本计算

例1：某校计算机学院学生组成的正方形实心方阵参加学校体育节开幕式，能组成的最大方阵最外层人数为48人。问该学院的学生人数在以下哪个范围内?

A. 144 到155 之间
B. 156 到168 之间
C. 169 到195 之间
D. 大于195

主题2：中空方阵与等差数列

例2：有一队士兵排成若干层的中空方阵，外层人数共60人，中间一层共44人．则该方阵士兵总数是?

A. 296
B. 220
C. 324
D. 348

主题3：方阵的增减变化

例3： 将一批同学排成一个正方形方阵，还多余10人。若将这个方阵纵向和横向各增加2排，则还缺少122人才能填满。问最初这批同学有多少人？

A. 739
B. 855
C. 971
D. 1034

主题4：基础计算综合

例4：实心方阵基础 一个学生方阵，在排列时发现最外层有60人，问这个方阵共有多少学生？

A. 256
B. 240
C. 225
D. 196

例5：空心方阵层数关系 一个6层空心方阵，最外层每边有18人，求该方阵的总人数。

A. 288
B. 260
C. 300
D. 240

例6：方阵增减问题 一个实心方阵，最外层有60人。若在此方阵的基础上四周再增加一层，那么增加后的新方阵最外层有多少人？

A. 68
B. 72
C. 76
D. 80

主题5：复合与特殊方阵

例7：复合方阵转换 甲为一个实心方阵，其最外层每边有8人。乙也是一个实心方阵。现将甲、乙两方阵的人合并，可排成一个空心丙方阵。已知丙方阵的最外层每边人数比乙方阵的每边人数多4人，且甲方阵的人数恰好能填满丙方阵的空心部分。求甲、乙两方阵的总人数。

A. 200
B. 240
C. 260
D. 280

例8：颜色交替方阵 用红花和黄花组成一个实心方阵，最外层是红花，共44盆。如果从外向内，按红、黄、红、黄...的顺序交错排列，问这个方阵中黄花一共有多少盆？

A. 56
B. 60
C. 64
D. 72

三、技巧总结

核心思维是等差数列：牢记方阵从外到内，每层人数是公差为-8的等差数列；每边人数是公差为-2的等差数列。这是解决方阵问题的万能钥匙。
公式熟记于心：每层总数 = (每边人数-1)×4 和 总人数 = n² 是最基础也是最重要的公式，必须能够快速反应。
注意重叠问题：无论是计算层数还是增减行列，一定要注意四个角点的重叠计算问题，这是很多陷阱的来源。
巧用秒杀技巧：当题目中出现“中间一层”、“平均”等字眼时，可以考虑利用中位数性质。同时，观察选项的数字特性（如奇偶性、倍数关系），往往可以快速排除错误选项，锁定答案。
方程思想是保障：当题目关系复杂，无法直接套用公式时，果断使用方程法。设出未知数（通常是边长），根据题意列出等量关系，是解决复杂问题的最可靠方法。

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