第四课：幂次数列

一、核心概念

1. 什么是幂次数列？

在数字推理中，有一类数列，它的数字本身或者“邻居”非常有特点，都和“幂”也就是乘方运算有关，我们称之为 幂次数列。

为了理解这个概念，我们来做一个思维游戏。假设你发现了一个神奇的“聚宝盆”，第一天往里放1个金币，它就能给你变出1个金币（ $1^2$ ）；第二天你放2个金币，它能给你变出4个金币（ $2^2$ ）；第三天放3个，它变出9个（ $3^2$ ）。这样下去，你每天得到的金币数就组成了一个数列：1, 4, 9, 16, 25...

这个数列就是一个典型的幂次数列，它的规律可以表示为通项公式：

$a_n = n^2$

这里的 $n$ 代表数列的第几项（第几天）， $a_n$ 就是第 $n$ 项的数值。

所以，幂次数列的核心就是找到数列每一项与底数、指数之间的隐藏关系。

2. 幂次数列的核心特征

直接特征：数列中的数字本身就是常见的平方数或立方数。
间接特征：数列中的数字虽然不是幂本身，但它们与幂数只差一点点（通常是加或减一个小的常数）。例如，数列 0, 3, 8, 15, 24...，每一项都比一个平方数小1（ $1^2-1, 2^2-1, 3^2-1, 4^2-1, 5^2-1$ ）。

3. 两个特殊的“伪装者”：0 和 1

在幂次数列中，0和1是非常灵活的“伪装大师”，它们可以变身成多种形式：

数字 0:
- $0 = 0^n$ (n是任何不为0的正整数)。0可以看作是0的任意正整数次方。
数字 1:
- $1 = n^0$ (n是任何不为0的数)。1可以看作是任何非零数的0次方。
- $1 = 1^n$ (n是任意数)。1是1的任意次方。
- $1 = (-1)^n$ (n是任意偶数)。1是-1的任意偶数次方。

4. 负幂次与分数

有时候数列中会出现分数，这往往是 负幂次 的标志。其核心公式为：

$a^{-n} = \frac{1}{a^n} \quad (a \neq 0)$

例如， $\frac{1}{8} = 8^{-1}$ ，也可以看作是 $2^{-3}$ 。 $\frac{1}{81} = 81^{-1}$ ，也可以看作是 $9^{-2}$ 或 $3^{-4}$ 。

5. 常用幂次表（必须牢记！）

对数字的敏感性是快速解题的关键。请务必将以下常用幂次牢记于心，达到“看数知幂”的境界。

1-20的平方

$N$	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
$N^2$	1	4	9	16	25	36	49	64	81	100
$N$	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20
$N^2$	121	144	169	196	225	256	289	324	361	400

1-11的立方

$N$	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11
$N^3$	1	8	27	64	125	216	343	512	729	1000	1331

二、真题讲解

主题1：交叉幂次数列

例1：16，36，64，81，100，（）

A. 112
B. 136
C. 144
D. 168

主题2：幂次底数-指数混合数列

例2：1、32、81、64、25、（）、1

A. 5
B. 6
C. 10
D. 12

主题3：幂次修正数列（平方关系）

例3：65，35，17，（），1

A. 15
B. 13
C. 9
D. 3

主题4：幂次修正数列（立方关系）

例4：2、10、30、68、（）、222

A. 130
B. 150
C. 180
D. 200

主题5：交叉幂次修正数列

例5：65、15、126、（）、217、35

A. 24
B. 25
C. 127
D. 216

三、技巧总结

数字敏感性是第一位：牢记常用幂次表，做到“看数知幂”，是快速解题的前提。
先幂次，后修正：拿到数列，优先思考是不是标准幂次数列，如果不是，再思考是不是“幂次 ± 常数”的修正形式。
大小错落，考虑交叉：如果数列大小变化不规律，忽大忽小，要立刻想到可能是交叉数列，分奇数项和偶数项两组来找规律。
底数、指数两手抓：当规律不明显时，把数字改写成幂次形式，分别从底数和指数的变化中寻找规律。
善用0和1：不要忽视0和1这两个“百变星君”，它们可以凑出很多意想不到的规律。

四、巩固练习

练1：343，216，125，64，27，（）

A. 8
B. 9
C. 10
D. 12

练2：1、10、37、82、145、（）

A. 170
B. 197
C. 224
D. 226

练3：15，26，35，50，63，（）

A. 74
B. 78
C. 82
D. 90

练4：1，2，9，64，625，（）

A. 1728
B. 3456
C. 5184
D. 7776

练5：1，5，18，67，（）

A. 258
B. 259
C. 260
D. 261

练6：64，2，27，（），8， $\sqrt{2}$ ，1，1

A. $2\sqrt{5}$
B. $\sqrt{5}$
C. $\sqrt{2}$
D. $\sqrt{3}$

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