线段法

一、核心概念

线段法，又称“十字交叉法”，听起来可能有些抽象，但它其实源于我们生活中非常熟悉的一个场景：“混合”。比如将两种不同浓度的果汁混合在一起，得到一杯新口味的果汁。线段法就是解决这类混合问题的速算利器。

为了让你彻底理解，我们不用复杂的符号，先从一个例子入手。

场景：调制一杯完美的果味饮料

假设我们有两种饮料：

• A饮料（苹果味）：比较酸，含糖量为 10%。
• B饮料（葡萄味）：比较甜，含糖量为 20%。

我们希望将这两种饮料混合，调制出一种含糖量为 16% 的特调饮料。那么问题来了：这两种饮料应该按什么比例混合呢？

在这里，我们定义两个核心要素：

• 值 (V)：指我们关心的那个特定属性，在这个例子里就是“含糖量/浓度”。所以 $V_A = 10\%$，$V_B = 20\%$，混合后的值 $V_{mix} = 16\%$。
• 量 (M)：指用于混合的每部分的数量，在这个例子里就是两种饮料的“重量”或“体积”。我们设需要苹果饮料的量为 $M_A$，葡萄饮料的量为 $M_B$。

核心原理：加权平均

所有混合问题的本质都离不开“加权平均”这个概念。总的含糖量，等于各部分含糖量之和。

$\text{总糖量} = \text{A饮料的糖量} + \text{B饮料的糖量}$ $(M_A + M_B) * V_{mix} = M_A * V_A + M_B * V_B$

整理一下，就得到加权平均的经典公式：

$V_{mix} = \frac{M_A * V_A + M_B * V_B}{M_A + M_B}$

这个公式绝对正确，但如果用它来反推 $M_A$ 和 $M_B$ 的比例，计算起来会有点麻烦。而线段法的绝妙之处，就是对这个公式做了一个漂亮的“变形”，让我们能一眼看出比例关系。

2. 公式推导：从代数到“十字”的变形记

现在，我们来看看这个变形是怎么发生的。我们会用纯代数和上面的饮料例子同步进行，让你看清楚每一步的意义。

这个公式告诉我们一个非常重要的结论：两个部分的量之比，等于它们各自的值与混合值的“交叉作差”之比。 在我们的例子中，$\frac{M_A}{M_B} = \frac{2}{3}$，意味着要调制出16%的饮料，苹果饮料和葡萄饮料的重量比应该是 2 : 3。

3. “十字交叉”可视化

为了更直观地记忆和使用这个规律，我们把它画成一个“十字交叉”的图：

部分A的值 (V_A)      差值 |V_{mix} - V_B|  <-- 对应 M_A 的比例
                ╲    ╱
                  混合值 (V_{mix})
                ╱    ╲
部分B的值 (V_B)      差值 |V_A - V_{mix}|  <-- 对应 M_B 的比例

从这个图中，我们可以总结出那句经典口诀：部分写两边，混合写中间，交叉作差求比例，距离与量成反比。

• 距离：指部分值与混合值的差的绝对值，即 $|V_A - V_{mix}|$ 和 $|V_{mix} - V_B|$。
• 量的反比：A的距离 $|V_A - V_{mix}|$ 对应的是B的量 $M_B$；B的距离 $|V_{mix} - V_B|$ 对应的是A的量 $M_A$。

所以，量的比例关系为： $M_A : M_B = |V_{mix} - V_B| : |V_A - V_{mix}|$

4. 适用题型

只要题目符合“部分+部分=整体”的混合模型，都可以考虑使用线段法。

• 溶液混合：浓度为值，溶液质量为量。
• 平均数混合：平均分为值，人数/个数为量。
• 增长率混合：分增长率为值，基期量为量（注意：这里的量是基期量，不是现期量！）。
• 利润率混合：利润率为值，成本为量。
• 价格混合：单价为值，数量为量。

二、真题讲解

1. 平均数混合问题

【例1】(2022四川下)某年级有甲、乙、丙三个班级，三个班级的期末考试平均成绩分别为70分、88分和74分。若甲班和乙班的平均成绩为78分，乙班和丙班的平均成绩为82分。问该年级的期末考试平均成绩为多少分?

• A. 75
• B. 77
• C. 79
• D. 81

2. 比例混合问题

【例2】(2016联考)某高校艺术学院分音乐系和美术系两个系别，已知学院男生人数占总人数的30%，且音乐系男、女生人数之比为1:3，美术系男、女 生人数之比为2:3，问音乐系和美术系的总人数之比为多少?

• A. 5:2
• B. 5:1
• C. 3:1
• D. 2:1

3. 浓度混合问题

【例3】(2018新疆)将浓度为15%和5%的盐水各1000克，分别倒出若干配制成浓度为10%的盐水1200克，将剩下的盐水全部混合在一起，得到的盐水浓度为：

• A. 10%
• B. 8.25%
• C. 8%
• D. 7.25%

4. 增长率混合问题

【例4】(2023上海·A类)某公司生产A、B两种产品，其中B是A的升级产品。经过调研，预判2022年市场对A产品的需求比2021年下降30%(A产品的价格不变)。因此公司决定增加对B产品营销，使B产品在2022年的销售收入比2021年增长70%，这样恰好使公司2022年的总销售收入比2021年增长10%。则2021年B产品的销售额占总销售额的比例是：

• A. 40%
• B. 50%
• C. 60%
• D. 70%

5. 混合增长率问题

【例5】(2021江苏)2019年，全国居民人均消费支出21559元，比2012年增长78.9%。其中，城镇居民人均消费支出28063元，比2012年增长64.0%；农村居民人均消费支出13328元，比2012年增长99.9%。则2019年城镇居民人口占总人口的比重约为：

• A. 52.7%
• B. 53.8%
• C. 54.1%
• D. 55.9%

6. 基期现期混合问题

【例6】(2020山东)由于改良了种植技术，农场2017年种植的A和B两种作物，产量分别增加了10%和25%。已知2017年两种作物总产量增加了18%，则2017年A和B两种作物的产量比为：

• A. 7:8
• B. 8:7
• C. 176:175
• D. 77:100

三、技巧总结

线段法（十字交叉法）是解决各类“混合问题”的利器，其核心在于将复杂的代数运算转化为直观的比例关系。掌握其精髓，能大幅提升解题速度。

1. 核心思想

抓住“混合”本质，万物皆可“交叉”。 所有“部分+部分=整体”且涉及加权平均计算的题型，理论上都可以尝试使用线段法。你需要做的就是准确找到问题中的三个核心值：部分值A、部分值B 和 混合值。

2. 标准使用步骤

1. 识别模型：判断题目是否属于混合问题，即两个部分（或多个部分）融合成一个整体。
2. 找准“值”与“量”：
   • “值”：指那个可以被平均的属性，如浓度、平均分、增长率、利润率、价格等。
   • “量”：指与“值”相对应的权重，如溶液质量、人数、基期量、成本、数量等。
3. 画图交叉：将两个部分值写在十字的左侧上下两端，混合值写在中间。
4. 交叉作差：用两边的部分值分别与中间的混合值作差，将差的绝对值写在十字的右侧。
5. 得出比例：右侧得到的差值之比，就是左侧两个部分对应“量”的反比。

3. 关键要点与高频易错点

1. 增长率问题必考陷阱

   • 使用线段法处理增长率问题时，交叉作差得到的是基期量之比，而非现期量之比！
   • 如果题目问的是现期量之比（如例6），必须在求出基期量之比后，再乘以各自的增长系数 (1+r)，才能得到最终答案。

2. “量”的准确对应

   • 利润率 对应的“量”是 成本，不是售价。
   • 增长率 对应的“量”是 基期量，不是现期量。
   • 单价 对应的“量”是 数量。
   • 这个对应关系一旦出错，全盘皆输。

3. 作差的细节

   • 当遇到负增长率时（如例4的-30%），作差要格外小心。|10% - (-30%)| 变成 10% + 30%。
   • 作差永远是大数减小数，保证结果为正。

4. 信息干扰

   • 题目中可能给出多余信息（如例5中的年份和增长率），旨在迷惑考生。要能迅速识别出进行交叉计算所需的核心值，排除干扰。

4. 秒杀技巧与特殊应用

1. 中点秒杀

   • 如果混合后的“值”恰好是两个部分“值”的算术平均中点，那么说明两个部分的“量”必然相等，比例为 1:1。反之亦然。

2. 比例思想

   • 在溶液问题中（如例3），如果初始时两种溶液质量比为 a:b，配制出的溶液也要求两种溶液质量比为 a:b，那么无论倒出多少，剩余两种溶液的质量比仍然是 a:b，再次混合后浓度不变。

3. 多量混合

   • 当遇到三个或更多个量混合时，可以采用“假设法”或“两两结合”的方式。先将其中两个混合，得到一个中间值，再用这个中间值与第三个量进行混合。