数量关系
数学模型
年龄问题

年龄问题

一、核心思维

年龄问题是公务员考试中的常见题型,其核心在于理解时间和年龄变化的底层逻辑。掌握以下两个基本原则是高效解题的关键。

1. 年龄差不变原则

  • 核心概念:无论时间如何推移,两个人之间的年龄差是一个恒定不变的量。

  • 生活化推导: 假设小明今年10岁,他的爸爸今年35岁。

    • 现在:两人的年龄差是 3510=2535 - 10 = 25 岁。
    • 5年前:小明是 105=510 - 5 = 5 岁,爸爸是 355=3035 - 5 = 30 岁。年龄差是 305=2530 - 5 = 25 岁。
    • 10年后:小明是 10+10=2010 + 10 = 20 岁,爸爸是 35+10=4535 + 10 = 45 岁。年龄差是 4520=2545 - 20 = 25 岁。
  • 数学公式:设 A、B 两人当前年龄分别为 aabb,年龄差为 dd。经过 nn 年后(nn可以为正也可以为负),两人的年龄变为 a+na+nb+nb+n

    年龄差=(a+n)(b+n)=a+nbn=ab=d年龄差 = (a+n) - (b+n) = a+n-b-n = a-b = d

    这个公式表明,年龄差与时间 nn 无关。

2. 年龄倍数关系递减

  • 核心概念:随着年龄的增长,年长者与年幼者之间的年龄倍数关系会逐渐减小,并无限趋近于1。

  • 生活化推导: 还是用小明和爸爸的例子。爸爸40岁,儿子10岁。

    • 现在:爸爸的年龄是儿子的 4010=4\frac{40}{10} = 4 倍。
    • 10年后:爸爸50岁,儿子20岁。此时,爸爸的年龄是儿子的 5020=2.5\frac{50}{20} = 2.5 倍。
    • 30年后:爸爸70岁,儿子40岁。此时,爸爸的年龄是儿子的 7040=1.75\frac{70}{40} = 1.75 倍。

    可以看到,42.51.754 \rightarrow 2.5 \rightarrow 1.75,倍数关系在不断减小。

  • 数学原理:设年长者年龄为 aa,年幼者年龄为 bb (a>ba > b)。nn 年后的年龄倍数为 a+nb+n\frac{a+n}{b+n}

    我们可以证明 ab>a+nb+n\frac{a}{b} > \frac{a+n}{b+n} (其中 n>0n>0)。

    作差比较:

    aba+nb+n=a(b+n)b(a+n)b(b+n)=ab+anabbnb(b+n)=anbnb(b+n)=n(ab)b(b+n)\frac{a}{b} - \frac{a+n}{b+n} = \frac{a(b+n) - b(a+n)}{b(b+n)} = \frac{ab+an-ab-bn}{b(b+n)} = \frac{an-bn}{b(b+n)} = \frac{n(a-b)}{b(b+n)}

    因为 a>ba>bn>0n>0,所以分子 n(ab)>0n(a-b)>0,分母 b(b+n)>0b(b+n)>0。因此,差值大于0,证明了年龄倍数关系会递减。

二、真题讲解

在掌握了核心思维后,我们通过几道典型的真题来学习具体的解题方法和技巧。

(一)基础代入与多条件筛选

例1 已知赵先生的年龄是钱先生年龄的2倍,钱先生比孙先生小7岁,三位先生的年龄之和是小于70的素数,且素数的各位数字之和为13,那么,赵、钱、孙三位先生的年龄分别为:

  • A. 30岁,15岁,22岁
  • B. 36岁,18岁,13岁
  • C. 28岁,14岁,25岁
  • D. 14岁,7岁,46岁

(二)方程法解多重年龄关系

例2 张先生比李先生大8岁,张先生的年龄是小王年龄的3倍,9年前李先生的年龄是小王年龄的4倍。则几年后张先生的年龄是小王年龄的2倍?

  • A. 10
  • B. 13
  • C. 16
  • D. 19

(三)整体思维与年龄和问题

例3 已知今年小明父母的年龄之和为76岁,小明和他弟弟的年龄之和为18岁。三年后,母亲的年龄是小明的三倍,父亲的年龄是小明弟弟的四倍。问小明今年几岁?

  • A. 11
  • B. 12
  • C. 13
  • D. 14

(四)周期性与余数问题

例4 上一个虎年老王和小赵的年龄和为54岁,上上个虎年老王年龄是小赵年龄的6倍多。如两人年龄均按出生的阴历年份计算,出生的当年记为0岁,则老王出生于:

  • A. 鼠年
  • B. 虎年
  • C. 龙年
  • D. 马年

(五)隐含条件与逻辑推理

例5 小强的爸爸比小强的妈妈大3岁,全家三口的年龄总和74岁,9年前这家人的年龄和49岁。那么小强的妈妈今年多少岁?

  • A. 32
  • B. 33
  • C. 34
  • D. 35

(六)不定方程与年龄问题

例6 甲乙两人今年的年龄之和是一个两位数,这个两位数等于甲再过6年时的年龄。问甲、乙两人今年的年龄分别是多少岁?

  • A. 20, 6
  • B. 21, 5
  • C. 22, 4
  • D. 23, 3

三、技巧总结

  1. 抓住核心原则:牢记“年龄差不变”,这是解决大部分年龄问题的基石。在处理年龄和问题时,要活用“年龄和的增长等于人数×年数”。
  2. 基准是关键:当题目涉及多人时,选择一个被关联次数最多的人的年龄作为未知数(基准),可以大大简化方程的复杂度。
  3. 时间轴思维:在脑海中建立一条时间轴,清晰地区分“过去”、“现在”、“未来”三个时间点,将题目给出的条件放到对应的时间点上。
  4. 寻找题眼/矛盾点:对于看似复杂的题目,要善于发现其中的“题眼”,例如例5中的年龄和矛盾,这往往是解题的突破口。
  5. 方法灵活切换:方程法是根本,但代入排除法是应对选择题的利器。当方程法思路受阻或计算复杂时,要果断尝试代入排除,尤其是当选项是具体数值时。
  6. 注意隐含条件:年龄必须是正整数,某些题目中的“两位数”、“质数”、“倍数”等描述,都是重要的约束条件,不可忽略。
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