植树问题
一、核心概念
植树问题是研究物体总长度、间距和物体个数之间关系的典型应用题。其本质是理解“物体”与“间隔”之间的数量关系。
为了更好地理解，我们用一个生活中的例子来推导公式：伸出你的手，我们把手指看作要栽的“树”，手指间的缝隙看作“间隔”（株距）。
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两端都“植树”：看你的食指、中指、无名指，3根手指之间有2个缝隙。如果我们把整段路看成从食指指尖到无名指指尖的距离，这就属于两端都植树。
- 公式：
- 推导：
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两端都不“植树”：同样是食指、中指、无名指，如果我们只考虑它们之间的部分，不包括食指和无名指本身，那就只有中指这1根“树”，但它们之间仍然有2个间隔。
- 公式：
- 推导：
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一端“植树”：只看食指和中指，1个间隔，2根手指。如果我们只栽一头，比如食指，那么就是1个间隔，1棵树。
- 公式：
- 推导：
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封闭图形“植树”：想象一下把你的大拇指和无名指连成一个圈，那么3根手指（大拇指、食指、中指）之间就会有3个缝隙。在圆形、正方形等封闭线路上植树，棵数和间隔数是相等的。
- 公式：
- 推导：
二、真题讲解
(一) 基础植树问题
例1：在长581米的道路两侧植树，假设该路段仅两端有路口，要求在道路路口15米范围内最多植1棵树，并且相邻两棵树间的距离为4米，问最多能植多少棵树?
- A. 137
- B. 139
- C. 278
- D. 280
(二) 楼梯问题（等价植树）
例2：搬运工负重徒步上楼，刚开始保持匀速，用了30秒爬了两层楼（中间不休息），之后每多爬一层多花5秒，多休息10秒，那么他爬到七楼一共用了多少秒：
- A. 220
- C. 180
- B. 240
- D. 200
(三) 综合问题 (植树与最小公倍数)
例3：为把2008年北京奥运办成绿色奥运，全国各地都在加强环保，植树造林。某单位计划在通往两个比赛场馆的两条路的（不相交）两旁栽上树，现运回一批树苗，己知一条路的长度是另一条路长度的两倍还多6000米，若每隔4米栽一棵，则少2754棵；若每隔5米栽一棵，则多396棵，则共有树苗（ ）。
- A. 8500 棵
- C. 12596 棵
- B. 12500 棵
- D. 13000 棵
(四) 环形植树与增加植树
例4：一个圆形池塘，周长为500米，原先沿着池塘边缘每隔25米安装一盏灯。现在需要调整，要求在相邻两盏灯之间等距离地增加4盏灯，请问调整后相邻两盏灯之间的距离是多少米？
- A. 4米
- B. 5米
- C. 6米
- D. 8米
(五) 公约数与公倍数应用
例5：一条长120米的道路一侧，原先按4米间距植树，现计划改为6米间距。如果道路两端都必须有树，那么有多少棵树不需要移动？
- A. 10
- B. 11
- C. 12
- D. 15
例6：某市为了美化城市，计划在一条长300米的街道一侧安装路灯。根据规划，在街道的72米处、120米处和240米处必须安装路灯。为了节省成本，要求相邻路灯的间距都相等，请问最少需要安装多少盏路灯（街道起点和终点都安装）？
- A. 24
- B. 25
- C. 26
- D. 30
三、技巧总结
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公式是核心：必须牢记不同情况下的核心公式。
- 两端都植：棵数 = 间隔数 + 1
- 两端不植：棵数 = 间隔数 - 1
- 一端植或封闭：棵数 = 间隔数
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识别变体：很多题目不会直接让你“植树”，而是以其他形式出现，要学会识别其本质。
- 上楼梯：爬到N楼 = 经过 N-1 个楼层间隔。
- 锯木头/剪绳子：锯成N段 = 需要锯 N-1 次。
- 站队列：N个人站一列，相邻两人隔M米，队长M×（N-1）米。
- 时钟问题：钟声敲N下，中间有N-1个时间间隔。
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审题是关键：
- 读清条件：是“两端”还是“单边”？是“直线”还是“封闭”？
- 注意单位：总长度和株距的单位是否一致？
- 关注特殊限制：如本篇例题中的“路口范围”、“休息时间”等，这些往往是解题的突破口和易错点。
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结合其他模型：植树问题常常与盈亏问题、等差数列等结合，考察综合分析能力。遇到复杂问题时，要尝试拆解题目，识别出其中包含的各种数学模型。
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掌握公约数与公倍数应用：
- 最大公约数(GCD)：当题目要求在某些指定位置必须植树，又要使总棵树最少时（即间距最大），应求各指定点之间距离的最大公约数。
- 最小公倍数(LCM)：当题目涉及调整间距，并询问有多少棵树不需要移动时，应求新旧间距的最小公倍数，该公倍数即为不动树的间距。
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