约数和余数

约数和余数问题是数量关系中的基础模块，但其出题形式灵活多变，常常与其他知识点结合，是考试中的常客。掌握其核心原理和解题技巧至关重要。

核心概念

1. 除法基本公式

我们先从一个生活中的小例子开始。假设班上有13颗糖果，要平均分给4位同学，每位同学最多能分到几颗？还剩下几颗？

很简单，我们用除法：$13 \div 4 = 3 \dots\dots 1$

• 被除数：13 (等待被分配的糖果总数)
• 除数：4 (分配对象的数量，即同学人数)
• 商：3 (每位同学分到的糖果数)
• 余数：1 (分配后剩余的糖果数)

从这个例子中，我们可以清晰地看到它们之间的关系：13颗糖果 = 4位同学 × 每人3颗 + 剩下的1颗。

由此，我们推导出除法中最核心、最基本的公式：

这个公式是解决几乎所有余数问题的基石。

同时，我们注意到，剩下的糖果（余数）数量必须比同学的人数（除数）要少，否则我们就可以再给每位同学分一颗。因此，我们得到余数的一个关键性质：

2. 余数的核心运算性质

余数在加、减、乘法运算中具有非常稳定和优美的性质，这对于简化计算至关重要。

• 可加性：和的余数等于余数之和的余数。
  • 公式表达：$(a + b) \pmod m = ((a \pmod m) + (b \pmod m)) \pmod m$
• 可减性：差的余数等于余数之差的余数。
  • 公式表达：$(a - b) \pmod m = ((a \pmod m) - (b \pmod m)) \pmod m$
• 可乘性：积的余数等于余数之积的余数。
  • 公式表达：$(a \times b) \pmod m = ((a \pmod m) \times (b \pmod m)) \pmod m$

3. 核心解题模型

在掌握了基本公式后，我们可以进一步探讨三种在考试中非常常见的模型。

a) 同余问题 (余数相同)

场景: 一个数 $N$ 分别除以好几个不同的数（例如 $a, b, c$），得到的余数都是同一个数 $r$。

推导: 根据核心公式，我们可以得到：

• $N = a \times \text{商}_1 + r \implies N - r = a \times \text{商}_1$
• $N = b \times \text{商}_2 + r \implies N - r = b \times \text{商}_2$
• $N = c \times \text{商}_3 + r \implies N - r = c \times \text{商}_3$

观察上面的式子，我们发现 $N-r$ 这个整体，既是 $a$ 的倍数，也是 $b$ 的倍数，还是 $c$ 的倍数。在数学上，我们就称 $N-r$ 是 $a, b, c$ 的 公倍数。

结论: 如果一个数除以 $a,b,c$ 都余 $r$，那么这个数可以表示为：$N = k \times \text{LCM}(a, b, c) + r$，其中 $\text{LCM}(a, b, c)$ 表示 $a, b, c$ 的最小公倍数，$k$ 为非负整数。

b) 同亏问题 (除数与余数的差相同)

场景: 一个数 $N$ 分别除以 $a, b, c$，得到的余数不尽相同，但是“除数 - 余数”的结果都等于一个固定的数 $d$。这种情况我们称之为“同亏”，意思是“都缺少 $d$ 才能被整除”。

推导: 根据题意，我们可以得到：

• $N$ 除以 $a$，余数为 $a-d$。根据核心公式：$N = a \times \text{商}_1 + (a-d)$。 我们把公式变个形：$N+d = a \times \text{商}_1 + a = a \times (\text{商}_1+1)$。
• $N$ 除以 $b$，余数为 $b-d$。根据核心公式：$N = b \times \text{商}_2 + (b-d)$。 变形后：$N+d = b \times \text{商}_2 + b = b \times (\text{商}_2+1)$。
• $N$ 除以 $c$，余数为 $c-d$。根据核心公式：$N = c \times \text{商}_3 + (c-d)$。 变形后：$N+d = c \times \text{商}_3 + c = c \times (\text{商}_3+1)$。

观察变形后的式子，我们发现 $N+d$ 这个整体，同时是 $a, b, c$ 的公倍数。

结论: 如果一个数除以 $a$ 余 $a-d$，除以 $b$ 余 $b-d$，除以 $c$ 余 $c-d$，那么这个数可以表示为：$N = k \times \text{LCM}(a, b, c) - d$，其中 $\text{LCM}(a, b, c)$ 表示 $a, b, c$ 的最小公倍数，$k$ 为正整数。

c) 和同问题 (除数与余数的和相同)

场景: 一个数 $N$ 分别除以 $a, b, c$，得到的 “除数 + 余数” 的结果都等于一个固定的数 $s$。

推导: 根据题意，我们可以得到：

• $N$ 除以 $a$，余数为 $s-a$。根据核心公式：$N = a \times \text{商}_1 + (s-a)$。 我们把公式变个形：$N-s = a \times \text{商}_1 - a = a \times (\text{商}_1-1)$。
• $N$ 除以 $b$，余数为 $s-b$。根据核心公式：$N = b \times \text{商}_2 + (s-b)$。 变形后：$N-s = b \times \text{商}_2 - b = b \times (\text{商}_2-1)$。

观察变形后的式子，我们发现 $N-s$ 这个整体，同时是 $a, b$ 的公倍数。

结论: 如果一个数除以 $a$ 余 $s-a$，除以 $b$ 余 $s-b$，那么这个数可以表示为：$N = k \times \text{LCM}(a, b) + s$，其中 $\text{LCM}(a, b)$ 表示 $a, b$ 的最小公倍数，$k$ 为非负整数。

真题讲解

主题1：基础余数问题

这类题目直接考察对核心公式 被除数 = 除数 × 商 + 余数 的理解和应用。

例1： 一个正整数P，满足 P 除以 7 的商是 21，余数是 4。请问P的值是多少？

• A. 141
• B. 147
• C. 151
• D. 155

主题2：同余问题

例2：（2013天津公务员） 学生列队，人数在90到110人之间。若排成5排则少2人，排成7排则少4人。求学生人数？

• A. 98
• B. 103
• C. 108
• D. 109

主题3：同亏问题

例3： 有一个数，用3除余2，用4除余3，用5除余4。这个数最小是多少？

• A. 57
• B. 58
• C. 59
• D. 60

主题4：复杂余数问题（中国剩余定理）

当余数没有明显规律（既不同余也不同亏）时，我们需要使用更通用的方法，通常称为“逐级满足法”或“步步推进法”。

例4（孙子算经原题）： 今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？ （一个数除以3余2，除以5余3，除以7余2，求这个数最小是多少？）

• A. 23
• B. 28
• C. 33
• D. 38

主题5：反求除数问题

例5： 一个数除 300 余 5，除 400 余 10，求该数的最大值。

• A. 5
• B. 15
• C. 59
• D. 65

主题6：余数性质应用题

例6：（2019国考） 商店里有6箱货物，分别重15、16、18、19、20、31千克。两位顾客买走了其中的5箱。已知一位顾客买的货物重量是另一位的2倍。问商店剩下的一箱货物重多少千克？

• A. 16
• B. 18
• C. 19
• D. 20

技巧总结

1. 牢记一个中心： 万变不离其宗，所有余数问题都围绕核心公式 被除数 = 除数 × 商 + 余数 展开。

2. 掌握核心模型与口诀： 快速识别“余同”、“差同”、“和同”模型，是高效解题的关键。

3. 精通一种通用方法：

   • “步步推进法” (解决中国剩余定理问题)：当余数无规律时，这是最有效的方法。
     • 步骤：从最大的除数开始，设出数的表达式 $\rightarrow$ 代入下一个除数条件，解出参数的最小取值并写出通项 $\rightarrow$ 更新数的表达式 $\rightarrow$ 重复此过程，直到满足所有条件。

4. 活用两大性质：

   • 余数范围：0 ≤ 余数 < 除数。这个性质在反求除数的题目中是关键约束条件。
   • 余数运算：和差积的余数等于余数的和差积。这个性质在处理倍数、加和问题时有奇效。

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