比赛问题

一、核心概念与公式推导

比赛问题并不复杂，本质上是排列组合知识的实际应用。理解了最基本的两种赛制，所有问题都能迎刃而解。

单循环赛指的是每任意两支队伍之间都要进行且只进行一场比赛。例如，世界杯小组赛就是单循环赛。

核心问题： $n$ 支队伍参加单循环赛，总共需要比赛多少场？

推导方法1：“握手”法 我们可以用一个生活中的例子来理解：一个班里有 $n$ 个同学，毕业时每个人都要和其他所有同学握手一次，总共会发生多少次握手？

这个规律可以推广到 $n$ 支队伍：总场次 = $(n-1) + (n-2) + \dots + 1$ 这是一个等差数列求和，根据公式，总场次为： $\text{总场次} = \frac{n(n-1)}{2}$

推导方法2：组合法（推荐） 每一场比赛都是在 $n$ 支队伍中任意选择2支队伍进行组合。因此，总场次就等于从 $n$ 个元素中取出2个元素的组合数。 $\text{总场次} = C_n^2 = \frac{n(n-1)}{2}$ 这个方法更快捷，也是解决此类问题的通用思维。

淘汰赛的规则是输一场就直接被淘汰，胜者晋级下一轮，直到决出最终的冠军。

核心问题： $n$ 支队伍参加淘汰赛，决出冠军需要比赛多少场？

推导方法：反向淘汰法 我们换个角度思考：比赛的目的是什么？是决出1个冠军。那么，要决出1个冠军，需要淘汰掉多少支队伍呢？答案很明显：需要淘汰掉 $(n-1)$ 支队伍。

因为每一场比赛恰好淘汰1支队伍，所以要淘汰 $(n-1)$ 支队伍，就必须进行 $(n-1)$ 场比赛。 $\text{总场次} = n - 1$ 这个结论与队伍如何分组、是否有轮空完全无关，只要是“单败淘汰制”，就一定遵循这个规律。

例1：某足球联赛有 16 支球队进行单循环赛，已知由于场地限制，每天最多安排 4 场比赛，问至少需要几天才能完成全部比赛？

例2： 8 支队伍进行单循环赛，规则为胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分。已知A队最终积16分，问A队至少赢了几场？

例3： 32支球队参加比赛，先分成8个小组进行单循环赛，每组4队，小组前2名出线进入淘汰赛阶段，直到决出冠军。问总共需要进行多少场比赛？

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