行程问题

行程问题是数量关系中的重要题型，主要涉及距离、速度、时间三者之间的关系。掌握行程问题的关键在于理解不同运动状态下的数量关系，并能灵活运用各种解题技巧。

核心概念

高频公式速查表

基础关系：

• $S = v \times t$ （路程 = 速度 × 时间）

相遇问题：

• $S = (v_1 + v_2) \times t_{相遇}$

追及问题：

• $S = (v_1 - v_2) \times t_{追及}$

流水行船：

• $v_{顺} = v_{船} + v_{水}$
• $v_{逆} = v_{船} - v_{水}$

环形运动：

• 同向：周长 = $(v_1 - v_2) \times t_{追及}$
• 反向：周长 = $(v_1 + v_2) \times t_{相遇}$

正反比关系：

• S一定：$v_1 : v_2 = t_2 : t_1$
• v一定：$S_1 : S_2 = t_1 : t_2$
• t一定：$S_1 : S_2 = v_1 : v_2$

1. 基本行程关系

行程问题的核心是一个最基本的公式：路程 = 速度 × 时间

想象一下，你以每小时60千米的速度开车行驶了2小时，那么你行驶的距离就是： $\text{距离} = 60 \times 2 = 120 \text{千米}$

基于这个基本关系，我们可以推导出行程问题中的各种复杂情况。

正反比关系

从基本公式 $S = v \times t$ 可以推导出：

• 当路程S一定时，速度v与时间t成反比：$v_1 : v_2 = t_2 : t_1$
• 当速度v一定时，路程S与时间t成正比：$S_1 : S_2 = t_1 : t_2$
• 当时间t一定时，路程S与速度v成正比：$S_1 : S_2 = v_1 : v_2$

应用举例： 如果一辆车提速20%，那么时间关系为：

• 新速度 : 原速度 = 1.2 : 1 = 6 : 5
• 新时间 : 原时间 = 5 : 6

即新时间是原时间的5/6，节省了1/6的时间。

2. 相遇问题

概念推导

让我们用一个生活化的例子来理解：小明和小红分别从家里出发去学校，小明家距离学校800米，小红家也距离学校800米，两家正好在学校的两侧。如果小明以每分钟60米的速度走，小红以每分钟40米的速度走，他们什么时候会相遇？

推导过程：

1. 第一步：理解相遇的本质

   • 相遇时，两人走过的路程之和等于两家之间的总距离
   • 总距离 = 800 + 800 = 1600米

2. 第二步：设定时间变量

   • 设相遇时间为 $t$ 分钟
   • 小明走过的距离：$60t$ 米
   • 小红走过的距离：$40t$ 米

3. 第三步：建立等式关系

   • $60t + 40t = 1600$
   • $(60 + 40)t = 1600$
   • $100t = 1600$
   • $t = 16$ 分钟

相遇问题公式： $\text{相遇距离} = (\text{速度}_1 + \text{速度}_2) \times \text{相遇时间}$

3. 追及问题

概念推导

举个例子：小明和小红在操场上跑步，小红先跑了200米，然后小明开始追赶。小明的速度是每分钟300米，小红的速度是每分钟200米。小明需要多长时间才能追上小红？

推导过程：

1. 第一步：理解追及的本质

   • 追及时，速度快的物体比速度慢的物体多走的距离等于初始距离差
   • 初始距离差 = 200米

2. 第二步：分析速度关系

   • 每分钟，小明比小红多跑：300 - 200 = 100米
   • 这100米就是小明每分钟缩短的距离差

3. 第三步：计算追及时间

   • 追及时间 = 初始距离差 ÷ 速度差
   • 追及时间 = 200 ÷ 100 = 2分钟

追及问题公式： $\text{追及距离} = (\text{大速度} - \text{小速度}) \times \text{追及时间}$

4. 环形运动

同向环形运动

想象一个400米的环形跑道，小明和小红同时从起点出发，同向跑步。小明的速度是每分钟100米，小红的速度是每分钟60米。

推导过程：

1. 第一步：理解同向环形的特点

   • 速度快的会逐渐拉开距离，直到"套圈"
   • 每次套圈，速度快的比速度慢的多跑一整圈

2. 第二步：计算套圈条件

   • 每分钟，小明比小红多跑：100 - 60 = 40米
   • 套圈时间 = 跑道周长 ÷ 速度差 = 400 ÷ 40 = 10分钟

同向环形公式： $\text{环形周长} = (\text{大速度} - \text{小速度}) \times \text{套圈时间}$

反向环形运动

如果小明和小红反向跑步，情况就类似相遇问题。

反向环形公式： $\text{环形周长} = (\text{大速度} + \text{小速度}) \times \text{相遇时间}$

5. 流水行船问题

基本概念推导

想象一艘船在河流中航行，河水有一定的流速。

推导过程：

1. 顺流航行：船的实际速度 = 船在静水中的速度 + 水流速度
2. 逆流航行：船的实际速度 = 船在静水中的速度 - 水流速度

基本公式：

• 顺流速度 = 静水船速 + 水速
• 逆流速度 = 静水船速 - 水速
• 船速 = $\frac{\text{顺流速度} + \text{逆流速度}}{2}$
• 水速 = $\frac{\text{顺流速度} - \text{逆流速度}}{2}$

漂流时间公式推导

如果一个物体从A地漂流到B地，我们可以通过船只的顺流和逆流时间来推导。

设：

• 顺流时间为 $t_1$
• 逆流时间为 $t_2$
• 漂流时间为 $T$

推导过程：

1. 第一步：建立距离关系

   • 距离 = 顺流速度 × 顺流时间 = 逆流速度 × 逆流时间
   • $(v + u) \times t_1 = (v - u) \times t_2$

2. 第二步：漂流时的距离关系

   • 距离 = 水速 × 漂流时间 = $u \times T$

3. 第三步：通过代数运算得出

   • $T = \frac{2t_1t_2}{t_2 - t_1}$

漂流时间公式： $T = \frac{2t_1t_2}{t_2 - t_1}$

6. 两端相遇问题

概念推导

两端相遇问题是指两个物体在一条线段上来回运动，多次相遇的问题。

关键规律：

• 第N次相遇时，两物体的路程和 = 全程 × (2N-1)（两端出发）
• 第N次相遇时，两物体的路程和 = 全程 × 2N（一端出发）

这个规律的推导基于：每次相遇，两物体总共走过的路程都是全程的整数倍。

真题讲解

基本相遇追及问题

例1：基本相遇问题（2023年国考） 已知A、B两地相距600千米，甲乙两车同时从A、B两地相向而行，3小时相遇。若甲的速度是乙的1.5倍，则甲的速度是？

• A. 80千米/小时
• B. 90千米/小时
• C. 100千米/小时
• D. 120千米/小时

环形运动问题

例2：同向环形追及问题（2022年江苏） 环形跑道长400米，老张、小王、小刘从同一地点同向出发，围绕跑道分别慢走、跑步和骑自行车。已知三人的速度分别是1米/秒、3米/秒和6米/秒，问小王第3次超越老张时，小刘已经超越了小王多少次？

• A. 3
• B. 4
• C. 5
• D. 6

两端相遇问题

例3：两端出发相遇问题（2021年联考） 甲从A地，乙从B地同时以均匀的速度相向而行，第一次相遇离A地6千米，继续前进，到达对方起点后立即返回，在离B地3千米处第二次相遇，则A、B两地相距多少千米？

• A. 10
• B. 12
• C. 18
• D. 15

流水行船问题

例4：基本流水行船问题 一艘船往返于甲乙两港口之间，已知水速为8千米/时，该船从甲到乙需要6小时，从乙返回甲需9小时，问甲乙两港口的距离为多少千米？

• A. 216
• B. 256
• C. 288
• D. 196

复杂行程问题

例5：公交车模型问题 某人以匀速步行，发现每隔6分钟就有一辆公交车从后面超过他，每隔3分钟就有一辆公交车迎面开来，问公交车发车的时间间隔是多少？

• A. 3分钟
• B. 4分钟
• C. 4.5分钟
• D. 5分钟

例6：扶梯问题 某商场一楼到二楼有一部自动扶梯匀速上行，甲、乙二人共同乘梯上楼。甲在乘扶梯同时匀速登梯，乙在恰好半程后，也开始匀速登梯，但登梯速度是甲的1/2。甲乙二人分别登了36级、12级到达二楼，问这部扶梯静止时一楼到二楼的级数是多少？

• A. 48
• B. 60
• C. 66
• D. 72

分段分析问题

例7：分段速度变化问题（2024年河北） 快递员骑电动车平时要2小时到达目的地，如果提速20%可以提前20分钟到达；如果车子在2/5路程处故障，后续路程降速50%，则会晚到多少分钟？

• A. 30
• B. 35
• C. 40
• D. 45

上下坡问题

例8：等距离平均速度问题（2020年山东） 某人上山时每走30分钟就休息10分钟，下山时每走30分钟就要休息5分钟，已知下山速度是上山速度的1.5倍，如果上山用了3小时50分，那么下山用多少时间？

• A. 2小时
• B. 2小时15分
• C. 3小时
• D. 3小时15分

技巧总结

1. 解题技巧

比例法

• 适用于相遇、追及等问题
• 快速确定各物体的路程分配

方程法

• 设置合适的未知数
• 根据数量关系建立方程
• 特别适用于复杂的多步骤问题

特值法（赋值法）

• 对于抽象的速度关系，可以赋予具体数值
• 优先选择速度的最小公倍数作为路程，便于计算
• 适用于比例关系明确的问题

应用示例：

• 速度比为2:3时，可设路程为6（2和3的最小公倍数）
• 甲用时3，乙用时2，便于后续计算

分段分析法

• 对于复杂的行程问题，可以将其分解为多个简单的阶段
• 特别适用于速度变化、故障停车等情况
• 分别计算每个阶段的距离、速度和时间
• 最后将各阶段的结果相加或相减

参照物转换法

• 当题目涉及多个物体运动时，可以选取一个物体作为参照物
• 将其他物体的运动转化为相对于参照物的运动
• 经常用于多人多次相遇问题
• 简化计算过程

2. 常见易错点

环形运动问题

流水行船问题

两端相遇问题

3. 快速解题口诀

1. 相遇问题：速度相加，时间相同
2. 追及问题：速度相减，路程差定
3. 环形运动：同向追及，反向相遇
4. 流水行船：顺加逆减，静水中和
5. 两端相遇：奇数全程，偶数往返
6. 正反比关系：路程定，速度时间成反比
7. 分段分析：复杂问题，分段处理

4. 秒杀技巧

数字特性法

• 利用答案的数字特征快速排除选项
• 特别适用于计算复杂的题目

代入验证法

• 将选项代入原题验证
• 适用于方程复杂但答案简单的题目

极端情况法

• 考虑速度为0或无穷大的极端情况
• 快速判断答案的合理性

通过以上核心概念的理解、真题的深入分析和技巧的熟练运用，相信同学们能够在行程问题上取得突破性进展。记住，行程问题的关键在于理解物理过程，建立正确的数量关系。

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