容斥原理

容斥原理是行测数量关系中的高频考点，它源于集合论，主要用于解决多个交叉集合的计数问题。因其模型多变，也被一些考生戏称为“客厅问题”。理解并熟练运用容斥原理，可以有效破解看似复杂的数量关系题。

一、核心概念与公式推导

核心思想

容斥原理的核心思想可以概括为：“先加后减，重加再减”。当计算多个集合并集的元素总数时，我们先把每个集合的元素数量全部加起来，然后减去那些因为重复计算而被多加的部分。如果涉及三个或更多集合，这个过程会更加复杂，需要交替进行加减，以确保每个元素最终只被计算一次。

1. 两个集合的容斥原理

问题：喜欢语文（集合A）或喜欢数学（集合B）的同学一共有多少人？我们想求的是两个集合的并集，记为 $|A \cup B|$ 。

第一步：简单相加 $|A| + |B|$
第二步：发现问题 那些既喜欢语文又喜欢数学的同学（ $|A \cap B|$ ），被计算了两次。
第三步：减去重复

$|A \cup B| = |A| + |B| - |A \cap B|$

实用变形 在很多题目中，我们会遇到“总数”和“两者都不”的情况。此时，公式可以变形为：总数 - 两者都不 = |A| + |B| - |A ∩ B|

2. 三个集合的容斥原理

现在，我们再增加一个条件：喜欢英语的有 C 些同学。

问题：喜欢语文、数学或英语的同学一共有多少人？我们要求的是三个集合的并集 $|A \cup B \cup C|$ 。

第一步：简单相加 $|A| + |B| + |C|$
第二步：减去两两相交的部分 $... - (|A \cap B| + |A \cap C| + |B \cap C|)$
第三步：发现新的问题 那些同时喜欢语、数、外三门学科的同学（ $|A \cap B \cap C|$ ），在第一步被加了3次，第二步被减了3次，相当于被完全忽略了。
第四步：加回三者相交的部分

$|A \cup B \cup C| = |A| + |B| + |C| - (|A \cap B| + |A \cap C| + |B \cap C|) + |A \cap B \cap C|$

非标准型公式 当题目没有直接给出两两相交的人数，而是给出“只满足两项”这类条件时，直接使用标准公式会很困难。此时，可以采用以下两个核心变形公式：

从个体加和角度 总人数 = (只满足一项的人数) + (只满足两项的人数) + (满足三项的人数) + (都不满足的人数)
从集合整体角度（更常用） 这个公式由公式1推导而来，是解题的利器：总人数 - 都不满足 = |A| + |B| + |C| - (只满足两项的人数之和) - 2 \times (满足三项的人数)

二、题型分类与真题讲解

1. 两集合容斥问题

例1：（2023年省考）某单位107名职工，78人捐衣物，77人捐食品，求既捐衣物又捐食品的人数。

2. 标准三集合容斥问题

例2：某班级有100名学生，其中参加篮球队的有30人，参加足球队的有25人，参加乒乓球队的有28人。已知参加篮球和足球的有10人，参加篮球和乒乓球的有12人，参加足球和乒乓球的有8人，三个队都参加的有5人。问至少参加一项运动的学生有多少人？

例3：（2022年国考）对120种食品进行检测，抗氧化剂达标的有68种，防腐剂达标的有77种，漂白剂达标的有59种；抗氧化剂与防腐剂均达标的有54种，防腐剂与漂白剂均达标的有43种，抗氧化剂与漂白剂均达标的有35种，三项均达标的有30种。求三项均不达标的种数。

例4：（2020年新疆卷） 246名员工，订阅A期刊125人，B期刊126人，C期刊135人；订阅A、B期刊57人，A、C期刊73人，三种期刊31人；17人不订阅任何期刊。求订阅B、C期刊人数。

3. 非标准三集合容斥问题

例5：（2021年联考）某机关139人，参加讲座A的有42人，讲座B的有51人，讲座C的有88人；只参加两场讲座的有30人，三场都参加的有12人。求未参加任何讲座的人数。

4. 文氏图与比例结合

例6：实验室通过测评Ⅰ和Ⅱ来核定产品的等级：两项测评都不合格的为次品，仅一项测评合格的为中品，两项测评都合格的为优品。某批产品只有测评Ⅰ合格的产品数是优品数的2倍，测评Ⅰ合格和测评Ⅱ合格的产品数之比为6∶5。若该批产品次品率为10%，则该批产品的优品率为：

A. 10%
B. 15%
C. 20%
D. 25%

5. 多集合反向构造求最值

当题目涉及多个集合（通常大于等于四个），且问题是“至少有多少人...都喜欢”或“至多有多少人...都不喜欢”时，应使用反向构造的思路。

例7：某社团共有46人，其中35人爱好戏剧，30人爱好体育，38人爱好写作，40人爱好收藏。这个社团至少有多少人以上四项活动都喜欢?

A. 5
B. 6
C. 7
D. 8

三、技巧总结

识别题型是关键：
- 两集合问题：通常最简单，直接套用基础公式或其变形。
- 标准三集合型：题干直接给出各部分人数，直接套标准公式。
- 非标准三集合型：给出“只参加...”或“至少参加...”等条件，需要对标准公式进行变形或使用非标准型公式。
- 比例型：出现比例关系，画文氏图并赋值求解是最佳策略。
- 最值型：问“至少...都”或“至多...不都”，果断使用反向构造法。
公式的理解与记忆：
- 两集合： $|A \cup B| = |A| + |B| - |A \cap B|$
- 两集合变形：总数 - 都不 = |A| + |B| - |A ∩ B|
- 三集合标准： $|A \cup B \cup C| = |A| + |B| + |C| - (|A \cap B| + |A \cap C| + |B \cap C|) + |A \cap B \cap C|$
- 三集合非标准：总数 - 都不 = |A|+|B|+|C| - (只两项) - 2(全三项)*
- 核心是“奇加偶减”以及理解每个公式的使用场景。
文氏图（Venn Diagram）的威力：
- 对于二、三集合问题，特别是条件复杂时，画图能让关系一目了然。
- 图中每个区域代表什么要清晰，如“仅A”、“A与B相交但不含C”等。
反向构造的逻辑：
- 求“全都满足的至少有多少”，等价于求“至少一项不满足的至多有多少”。
- A + B + C - (n-1)I 这个公式是解决这类问题的利器，务必掌握。
注意关键词辨析：
- "A和B" 指的是交集 $|A \cap B|$ 。
- "A或B" 指的是并集 $|A \cup B|$ 。
- "只参加A和B" 指的是 $(|A \cap B| - |A \cap B \cap C|)$ （在三集合问题中）。
- "至少参加一项" 是指并集。
- "一项都没参加" 是指全集减去并集。

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