剪绳问题

一、核心概念

剪绳问题是公务员考试数量关系模块中的一个经典题型。它主要考察在将一根绳子进行多次对折后，剪切一次或多次，最终会得到多少段绳子的问题。这类问题的核心在于理解“对折”如何倍增了“剪切”的效果。

公式推导

让我们通过一个简单的例子来理解这个过程，想象一下我们手里有一根软面条，用它来模拟绳子。

1. 不折叠 (N=0)

   • 如果我们不折叠面条，直接在上面剪 1刀，面条会被分成 2段。
   • 如果剪 M刀，则会得到 M+1段。这是最简单的情况。

2. 对折1次 (N=1)

   • 我们将面条对折一次，现在它有2层了。
   • 在这个折叠后的面条上剪 1刀，会发生什么？这一刀同时切断了2层面条。展开后，你会发现原来的面条上多了2个切口，但由于对折点本身也被切开了，所以最终形成了 3段。
   • 我们可以这样理解：初始是1整段。每剪一刀，都会增加 2^1 = 2 段。所以剪1刀后，总段数是 1 + 2 = 3 段。
   • 如果我们剪 M刀 呢？每剪一刀都增加2段，所以M刀会增加 2 * M 段。第一刀下去变3段，第二刀下去又切断了2层，增加了2段， 3+2=5。

3. 对折N次

   • 当我们将绳子对折 N 次时，绳子就会有 2^N 层。
   • 此时，每剪一刀（M），相当于同时在 2^N 层绳子上进行切割。
   • 每次剪切都会增加 2^N 段绳子。我们从1段开始，剪了 M 刀，总段数是 1 + M \times 2^N。
   • 最终我们得到核心公式： $$\text{段数} = 2^N \times M + 1$$
   • 其中：
     • N 代表对折次数。
     • M 代表剪刀数（即切割次数）。

二、真题讲解

主题一：经典剪绳问题

例1： 一把一根线对折，对折，再对折，然后从对折后线绳的中间剪开，这线被剪成了几段？

• A. 6
• B. 7
• C. 8
• D. 9

主题二：逆向求解问题

例2： 一根绳子对折若干次后，从中间剪2刀，得到17段。请问这根绳子对折了多少次？

• A. 2
• B. 3
• C. 4
• D. 5

主题三：线性切割（变体问题）

例3： 一个工人锯一根22米长的木料，因木料两头损坏，他先将木料两头各锯下1米，然后锯了4次，锯成同样长的短木条，每根短木条长多少米?

• A.5.25 米
• C.4.2 米
• B.5 米
• D.4 米

三、技巧总结

1. 识别核心特征：解题的第一步永远是判断题型。看到“对折”和“剪切”同时出现，立即联想剪绳问题公式。

2. 牢记核心公式：

   $$\text{段数} = 2^N \times M + 1$$

   务必准确理解 N 是对折次数，M 是剪切次数。

3. 注意变体题：如果题目只涉及线性切割（如锯木头、切钢管），而没有对折，则适用更简单的结论：M次切割得到M+1段。不要混淆公式。

4. 逆向求解：考试中也可能出现给出段数反推次数的题目，只需将公式倒过来，建立方程求解即可，本质没有变化。

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