数量关系
数学模型
剪绳问题

剪绳问题

一、核心概念

剪绳问题是公务员考试数量关系模块中的一个经典题型。它主要考察在将一根绳子进行多次对折后,剪切一次或多次,最终会得到多少段绳子的问题。这类问题的核心在于理解“对折”如何倍增了“剪切”的效果。

公式推导

让我们通过一个简单的例子来理解这个过程,想象一下我们手里有一根软面条,用它来模拟绳子。

  1. 不折叠 (N=0)

    • 如果我们不折叠面条,直接在上面剪 1刀,面条会被分成 2段
    • 如果剪 M刀,则会得到 M+1段。这是最简单的情况。
  2. 对折1次 (N=1)

    • 我们将面条对折一次,现在它有2层了。
    • 在这个折叠后的面条上剪 1刀,会发生什么?这一刀同时切断了2层面条。展开后,你会发现原来的面条上多了2个切口,但由于对折点本身也被切开了,所以最终形成了 3段
    • 我们可以这样理解:初始是1整段。每剪一刀,都会增加 2^1 = 2 段。所以剪1刀后,总段数是 1 + 2 = 3 段。
    • 如果我们剪 M刀 呢?每剪一刀都增加2段,所以M刀会增加 2 * M 段。第一刀下去变3段,第二刀下去又切断了2层,增加了2段, 3+2=5
  3. 对折N次

    • 当我们将绳子对折 N 次时,绳子就会有 2^N 层。
    • 此时,每剪一刀(M),相当于同时在 2^N 层绳子上进行切割。
    • 每次剪切都会增加 2^N 段绳子。我们从1段开始,剪了 M 刀,总段数是 1 + M \times 2^N
    • 最终我们得到核心公式: 段数=2N×M+1\text{段数} = 2^N \times M + 1
    • 其中:
      • N 代表对折次数。
      • M 代表剪刀数(即切割次数)。

二、真题讲解

主题一:经典剪绳问题

例1: 一把一根线对折,对折,再对折,然后从对折后线绳的中间剪开,这线被剪成了几段?

  • A. 6
  • B. 7
  • C. 8
  • D. 9

主题二:逆向求解问题

例2: 一根绳子对折若干次后,从中间剪2刀,得到17段。请问这根绳子对折了多少次?

  • A. 2
  • B. 3
  • C. 4
  • D. 5

主题三:线性切割(变体问题)

注意:并非所有“锯、剪、切”的问题都适用剪绳公式,需要仔细审题,判断是否存在“对折”这一关键动作。

例3: 一个工人锯一根22米长的木料,因木料两头损坏,他先将木料两头各锯下1米,然后锯了4次,锯成同样长的短木条,每根短木条长多少米?

  • A.5.25 米
  • C.4.2 米
  • B.5 米
  • D.4 米

三、技巧总结

  1. 识别核心特征:解题的第一步永远是判断题型。看到“对折”和“剪切”同时出现,立即联想剪绳问题公式。

  2. 牢记核心公式

    段数=2N×M+1\text{段数} = 2^N \times M + 1

    务必准确理解 N 是对折次数,M 是剪切次数。

  3. 注意变体题:如果题目只涉及线性切割(如锯木头、切钢管),而没有对折,则适用更简单的结论:M次切割得到M+1段。不要混淆公式。

  4. 逆向求解:考试中也可能出现给出段数反推次数的题目,只需将公式倒过来,建立方程求解即可,本质没有变化。

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