平方数和勾股数

一、核心概念

1. 平方数

(1) 什么是平方数?

平方数，又称完全平方数，是指可以写成某个整数的平方的数。例如，$1, 4, 9, 16, 25, 36$ 都是平方数，因为它们分别是 $1^2, 2^2, 3^2, 4^2, 5^2, 6^2$。

生活中的例子： 想象一下，你正在用同样大小的正方形地砖铺设一个正方形的院子。

• 如果你用1块地砖，你得到一个 $1 \times 1$ 的小正方形。
• 如果你想铺一个 $2 \times 2$ 的区域，你需要 $2 \times 2 = 4$ 块地砖。
• 如果你想铺一个 $3 \times 3$ 的区域，你需要 $3 \times 3 = 9$ 块地砖。 这些需要的地砖数量（1, 4, 9, ...）就是平方数。

(2) 常见性质

• 个位数特征：一个平方数的个位数字只能是 0, 1, 4, 5, 6, 9。绝对不可能是 2, 3, 7, 8。这个性质在快速排除选项时非常有用。
• 奇偶性：奇数的平方是奇数，偶数的平方是偶数。

2. 勾股数与勾股定理

(1) 勾股定理

勾股定理描述了直角三角形三条边之间的关系：在一个直角三角形中，两条直角边的长度的平方和等于斜边长度的平方。 用公式表示就是： $a^2 + b^2 = c^2$ 其中，$a$ 和 $b$ 是直角边，$c$ 是斜边。

生活中的例子： 假设你想测量一个电视屏幕的大小，商家通常说的是屏幕对角线的长度（英寸）。如果一个电视屏幕的长是40英寸，宽是30英寸，它的尺寸是多少呢？

• 根据勾股定理，对角线长度 $c$ 满足：$c^2 = 40^2 + 30^2$
• $c^2 = 1600 + 900 = 2500$
• $c = \sqrt{2500} = 50$ 所以，这是一个50英寸的电视。

(2) 勾股数

满足勾股定理 $a^2 + b^2 = c^2$ 的一组正整数 $(a, b, c)$ 称为勾股数或勾股三元组。例如 $(3, 4, 5)$ 就是最著名的一组，因为 $3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25 = 5^2$。

(3) 如何找到勾股数？—— 勾股数通式

我们可以用一个神奇的公式来批量生产勾股数。任意选择两个正整数 $m$ 和 $n$，并使得 $m > n$。

• 令直角边 $a = m^2 - n^2$
• 令另一直角边 $b = 2mn$
• 令斜边 $c = m^2 + n^2$

我们来验证一下这个公式为什么成立： 我们需要证明 $a^2 + b^2 = c^2$。 $a^2 + b^2 = (m^2 - n^2)^2 + (2mn)^2$ $= (m^4 - 2m^2n^2 + n^4) + 4m^2n^2$ $= m^4 + 2m^2n^2 + n^4$ $= (m^2 + n^2)^2$ $= c^2$ 看，等式成立了！

举例：

• 设 $m=2, n=1$：
  • $a = 2^2 - 1^2 = 3$
  • $b = 2 \times 2 \times 1 = 4$
  • $c = 2^2 + 1^2 = 5$ 得到勾股数 $(3, 4, 5)$。
• 设 $m=3, n=2$：
  • $a = 3^2 - 2^2 = 5$
  • $b = 2 \times 3 \times 2 = 12$
  • $c = 3^2 + 2^2 = 13$ 得到勾股数 $(5, 12, 13)$。

二、真题讲解

例题1：平方数性质应用

题目：一个正整数，若将其加上100，则得到一个完全平方数；若将其加上168，则也得到一个完全平方数。求这个正整数。

• A. 156
• B. 21
• C. 225
• D. 121

例题2：勾股数在几何问题中的应用

题目：一艘船从A点出发，向正东方向航行了15公里到达B点，然后向正北方向航行了8公里到达C点。此时船距离出发点A有多远？

• A. 17公里
• B. 20公里
• C. 23公里
• D. 25公里

例题3：勾股数判定

题目：(2019联考) 下列哪组数不是勾股数？

• A. 3, 4, 5
• B. 5, 6, 7
• C. 6, 8, 10
• D. 9, 40, 41

例题4：勾股数与面积计算

题目：(2020江苏) 一个三角形的三边长度之比为 5:12:13，其面积为1920平方米。求这个三角形的周长。

• A. 200米
• B. 240米
• C. 280米
• D. 300米

三、技巧总结

1. 牢记常用平方数：至少要背诵到 $20^2$，最好能到 $30^2$。这在计算和判断中非常重要。

   • $11^2=121, 12^2=144, ..., 19^2=361, 20^2=400$
   • $25^2=625, 30^2=900$

2. 掌握平方数性质：

   • 尾数排除法：看到一个数的个位数是2, 3, 7, 8，立即判断它不是完全平方数。
   • 奇偶性判断：平方数的奇偶性与其底数相同。
   • 利用平方差公式：在处理两个平方数之差的问题时（如例题1），利用 $a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)$ 可以将问题转化为因式分解，大大简化计算。

3. 熟记常用勾股数：这是数量关系几何题中的“秒杀”利器。

   • 基础组：
     • $(3, 4, 5)$
     • $(5, 12, 13)$
     • $(8, 15, 17)$
     • $(7, 24, 25)$
     • $(9, 40, 41)$
   • 拓展组（由基础组等比例放大得到）：
     • $(6, 8, 10)$ （(3,4,5) 的2倍）
     • $(9, 12, 15)$ （(3,4,5) 的3倍）
     • $(10, 24, 26)$（(5,12,13)的2倍）

4. 构造与计算：

   • 构造直角三角形：在解决几何问题时，如果题干中没有直接给出直角三角形，要善于做辅助线，构造出直角三角形，然后才能利用勾股定理或勾股数解题。
   • 计算直角三角形面积：牢记面积公式 $S = \frac{1}{2}ab$，其中a和b是两条直角边的长度。

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