扑克问题与基础博弈论

"扑克问题"在公务员考试中通常不是指玩扑克牌的技巧，而是指一类基于扑克牌、棋子、石子等道具的公平组合游戏（Impartial Game）。这类问题的核心是博弈论中的策略分析，最常见的是“巴什博弈”（Bash Game）。

一、核心概念：巴什博弈 (Bash Game)

巴什博弈是博弈论中最简单的一种模型，其精髓在于找到制胜的规律，确保自己从游戏开始就能立于不败之地。

我们用一个生活中的例子来理解这个模型。

场景：假设桌上有一堆糖果，共 N 颗。你和朋友两个人轮流从这堆糖果中取走一部分，每次最少取 m 颗，最多取 n 颗。谁取走最后一颗糖果，谁就获胜。

思考：如果你先取，你第一次应该取多少颗才能保证自己一定能赢？

这个问题的关键在于控制每一轮（你和朋友各取一次）被取走的糖果总数。

控制量：在一个完整的回合中，你和朋友一共取走的糖果数量。假设你的朋友取了 k 颗（m <= k <= n），你可以取 (m+n) - k 颗。这样，每一轮你们俩取走的糖果总数就是 m+n 颗。
制胜点：如果你能让每次你取完后，剩下的糖果数都是 m+n 的倍数，那么胜利的天平就会向你倾斜。

推导过程：

设糖果总数为 N。我们将 N 用 (m+n) 来分解，看看余数是多少。 $N = p \times (m+n) + r$ 其中 p 是商，r 是余数（0 \le r < m+n）。
必胜策略：
- 情况一：如果余数 r 不为0 (r \neq 0) 如果你先手，并且 m \le r \le n，你第一次就取走 r 颗糖果。此时，剩下的糖果数量为： $N - r = p \times (m+n)$ 这是一个 m+n 的整数倍。接下来，无论你的朋友取 k 颗，你都取 (m+n) - k 颗。因为 m \le k \le n，所以 m \le (m+n) - k \le n，你的操作是合法的。这样，每一轮你们一共取走 m+n 颗糖果。经过 p 轮后，糖果会全部被取完，而且最后一次必然是你取完的。易错点：如果计算出的余数 r 小于 m，即 r < m，那么你无法一次性取走 r 颗。这时策略需要调整，但公务员考试中通常 r 会在 [m, n] 区间内。
- 情况二：如果余数 r 为0 (r = 0) 这意味着 N 本身就是 m+n 的倍数。如果你先手，无论你取多少颗，剩下的糖果数都不再是 m+n 的倍数。这时，你的朋友就可以利用上面的策略来对付你。因此，当 N 是 (m+n) 的倍数时，先手必败（前提是对手足够聪明）。

结论公式：对于总数为 N，每次可取 m 到 n 个物品的游戏，先手者想获胜，需要看 N 除以 (m+n) 的余数 r。

例1：甲乙两人在玩一个沙盘游戏，比赛的规则是：在一个分为50个单位的区域上，每人轮流去划定这些区域作为自己的领地，每次可以划定1到5个单位，谁作为最后划定区域的人则为胜利者，如果由甲划定，那么甲一开始要划定（）个单位，才能保证自己获胜。

例2：一副扑克牌（共54张），甲乙两人轮流拿，每人每次只能拿1、2、3 或者4张，谁拿到最后一张谁赢。若甲先拿牌，则甲第一次应该拿多少张牌，才能确保获胜？

这类问题虽然也使用扑克牌作为道具，但其核心不再是博弈，而是周期性规律和数论中的公倍数问题。

例3：一副扑克牌有52张，最上面一张是红桃A。如果每次把最上面的10张移到最下面而不改变它们的顺序及朝向，那么，至少经过多少次移动，红桃A会出现在最上面？

识别题型：看到“轮流取物”、“谁取最后一个谁赢/输”等字眼，立刻联想到巴什博弈。
套用公式：对于标准的巴什博弈（取最后一个者赢），核心是 N = p \times (m+n) + r。
- N 是总数，m 是最少取数，n 是最多取数。
- (m+n) 是你要控制的“循环节”。
- r 是余数，是你先手制胜的关键。
先手策略：如果余数 r \neq 0，先手就取 r 个，将 (m+n) 的倍数留给对手。
后手思维：如果余数 r = 0，先手必败。如果你是后手，而对手不知道这个策略，你就可以利用这个规律获胜。
注意变形：如果题目变成“谁取最后一个谁输”（反向巴什博弈），策略会略有不同，需要具体分析。
区分周期问题：如果题目涉及“回到原位”、“循环往复”，则很可能是周期问题，需要寻找最小公倍数，而不是使用博弈论。

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