概率问题

概率问题是公务员考试行测中的高频考点，其核心在于研究随机事件发生的可能性大小。虽然公式和概念较多，但只要掌握了核心思想和解题技巧，就能在考场上快速准确地找到答案。

一、核心概念

1. 古典型概率（等可能事件）

核心思想：所有可能出现的结果都是等可能的。这是最基础的概率模型。

公式： $P(A) = \frac{\text{事件 A 包含的基本事件数}}{\text{总基本事件数}} = \frac{m}{n}$

推导与理解： 想象一下你手里有一个标准的六面骰子，每一面分别标有1到6的点数。现在把它掷出去。

• 总基本事件数 (n)：骰子落地后，朝上的一面可能是1、2、3、4、5、6中的任意一个。这些结果出现的可能性是完全相等的，所以总共有6种等可能的结果。这就是分母n。
• 事件 A 包含的基本事件数 (m)：我们想知道“掷出偶数”这个事件的概率。那么，在6种总结果中，哪些是满足“偶数”这个条件的呢？是2、4、6这3种情况。这就是分子m。

因此，掷出偶数的概率就是： $P(\text{掷出偶数}) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$

2. 条件概率

核心思想：一个事件的发生会影响另一个事件发生的概率。

公式： $P(B|A) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)}$ 它表示在事件A已经发生的前提下，事件B发生的概率。

推导与理解： 一个盒子里有5张卡片，分别是红桃A、红桃K，黑桃A、黑桃K、黑桃Q。我们随机抽一张。

• 事件A：“抽到A”。总共5张牌，有2张A，所以 $P(A) = \frac{2}{5}$。
• 事件B：“抽到红桃”。总共5张牌，有2张红桃，所以 $P(B) = \frac{2}{5}$。
• 事件 $A \cap B$：“抽到红桃A”。只有1张，所以 $P(A \cap B) = \frac{1}{5}$。

现在我们问，“如果我们已经知道抽到的是一张A（事件A已发生），那么这张牌是红桃（事件B发生）的概率是多少？” 这就是条件概率 $P(B|A)$。

当我们知道抽到的是A，我们的样本空间就从5张牌缩小到了“红桃A”和“黑桃A”这2张牌。在这2张牌里，是红桃的只有1张。所以，直观上概率是 $1/2$。

我们用公式验证一下： $P(B|A) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)} = \frac{1/5}{2/5} = \frac{1}{2}$ 与我们的直观感觉完全一致！

3. 独立重复试验（伯努利试验）

核心思想：同一个试验，在相同条件下重复进行n次，每次试验的结果相互独立。

公式： $P_n(k) = C_n^k \times p^k \times (1-p)^{n-k}$ 它表示在n次独立重复试验中，某事件A（单次发生概率为p）恰好发生k次的概率。

推导与理解： 假设篮球运动员小明罚球的命中率是80%（即 $p=0.8$），失手的概率是20%（即 $1-p=0.2$）。他连续罚球3次（即 $n=3$）。我们想求他“恰好命中2次”（即 $k=2$）的概率。

1. 选出命中的那几次：总共罚球3次，要命中2次，有几种情况？可能是“中、中、不中”，“中、不中、中”，“不中、中、中”。具体有 $C_3^2 = 3$ 种情况。
2. 计算每种情况的概率：由于每次罚球是独立的，所以“中、中、不中”的概率是 $0.8 \times 0.8 \times 0.2 = 0.8^2 \times 0.2^1$。同理，其他两种情况的概率也是这个值。
3. 加总所有情况：把所有可能的情况加起来，就是最终的概率。 $P_3(2) = C_3^2 \times (0.8)^2 \times (0.2)^{3-2} = 3 \times 0.64 \times 0.2 = 0.384$

4. 逆向思维（对立事件）

核心思想：当直接计算一个事件的概率很复杂时（比如涉及“至少”、“至多”），可以先计算其对立事件的概率，再用1减去即可。

公式： $P(A) = 1 - P(\overline{A})$

理解： “至少有一个”的对立面是“一个都没有”。 “都是”的对立面是“不都是”。 “至少两个”的对立面是“只有一个”或“一个都没有”。

例如，一个班有10个学生，抽3个人去开会，求“至少有1名女生”的概率。如果直接求，需要分类讨论（1女2男，2女1男，3女），非常麻烦。但它的对立事件是“一个女生都没有”（即全是男生）。我们只要求出“全是男生”的概率 $P(\overline{A})$，然后用 $1 - P(\overline{A})$ 即可。

5. 数学期望

核心思想：在多次重复试验中，事件结果的“平均值”。它反映了随机变量取值的平均水平。

公式： $E(X) = X_1P_1 + X_2P_2 + \cdots + X_nP_n$ 其中 $X_i$ 是事件的可能取值，$P_i$ 是取该值时对应的概率。

理解： 有一个抽奖活动，奖项设置如下：

• 一等奖：1000元，中奖概率 1%
• 二等奖：50元，中奖概率 10%
• 未中奖：0元，概率 89%

那么，你参加一次这个抽奖，平均期望能得到多少钱呢？ $E(\text{奖金}) = (1000 \times 1\%) + (50 \times 10\%) + (0 \times 89\%) = 10 + 5 + 0 = 15\text{元}$ 这意味着，虽然你单次抽奖不可能得到15元，但如果你抽很多很多次，平均下来每次的收益就接近15元。

二、真题讲解

1. 古典型概率 + 分步计算

某单位端午节3天假期安排甲、乙、丙、丁4人值班。端午节当天上、下午各安排一个人值班，另外两天每天安排一个人，每人只值班一次。则乙被安排在端午节当天值班的概率是：

• A. 1/24
• C. 1/3
• B. 1/12
• D. 1/2

2. 分类概率计算 + 组合

某商场搞抽奖促销，限每人只能参与一次，活动规则是：一个纸箱里装有5个大小相同的乒乓球，其中3个是白色2个是红色，参与者从中任意抽出2个球，如果两个都是白色可得抵用券100元，一白一红可得抵用券200元，两个都是红色可得抵用券400元。若小李和小林两人分别参加抽奖，那么两人获得抵用券之和不少于600元的概率是多少？

• A. 0.12
• C. 0.13
• B. 0.22
• D. 0.30

3. 古典型概率 + 定位法

A、B两地间有三种类型列车运行，其中高速铁路动车组列车每天6车次，普通动车组列车每天5车次，快速旅客列车每天4车次。甲、乙两人要同一天从A地出发前往B地，假设他们买票前没有互通信息，而且火车票票源充足，问他们买到同一趟列车车票的概率有多大？

• A. 小于10%
• C. 20%到25%之间
• B. 10%到20%之间
• D. 25%到30%之间

4. 古典型概率 + 排列组合

某单位的会议室有5排共40个座位，每排座位数相同。小张和小李随机入座，则他们坐在同一排的概率：

• A. 高于20％
• C. 正好为20％
• B. 高于15％但低于20％
• D. 不高于15％

5. 排列组合 + 逆向思维

一道多项选择题有A、B、C、D、E五个备选项，要求从中选出2个或2个以上的选项作为唯一正确的选项。如果全凭猜测，猜对这道题的概率是：

• A. 1/5
• C. 1/26
• B. 1/21
• D. 1/31

6. 独立重复试验 + 分类讨论

某场羽毛球单打比赛采取三局两胜制。假设甲选手在每局都有80%的概率赢乙选手，那么这场单打比赛甲有多大的概率战胜乙选手？

• A. 0.768
• C. 0.896
• B. 0.800
• D. 0.924

7. 排列组合 + 逆向思维

某企业将5台不同的笔记本电脑和5台不同的平板电脑捐赠给甲、乙两所小学，每所学校分配5台电脑。如在所有可能的分配方式中随机选取一种，两所学校分得的平板电脑数量均不超过3台的概率为：

• A. 50/63
• C. 25/63
• B. 125/126
• D. 125/252

8. 几何概型（相遇问题）

某公司职员小王要乘坐公司班车上班，班车到站点的时间为上午7点到8点之间，班车接人后立刻开走；小王到站的时间为上午6点半至7点半之间。假设班车和小王到站的概率是相等的（均匀分布），那么小王能够坐上班车的概率为：

• A. 1/8
• C. 1/2
• B. 3/4
• D. 7/8

9. 古典型概率 + 平均分组

某单位工会组织桥牌比赛，共有8人报名，随机组成4队，每队2人。那么小王和小李恰好被分在同一队的概率是:

• A. 1/7
• C. 1/21
• B. 1/14
• D. 1/28

10. 数学期望

商场以摸奖的方式回馈顾客，箱内有5个乒乓球，其中1个为红色，2个为黄色，2个为白色，每位顾客从中任意摸出一个球，摸到红球奖10元，黄球奖1元，白球无奖励，则一位顾客所获奖励的期望值为：

• A. 10
• C. 2
• B. 1.2
• D. 2.4

三、技巧总结

1. 正难则反：当题目中出现“至少”、“至多”、“不都”等字眼时，直接求解往往需要复杂的分类讨论。此时，优先考虑其对立事件，计算对立事件的概率再用1减去，往往能化繁为简。

2. 分类与分步：

   • 分类用加法：完成一件事有几类不同的方法，各类方法相互独立，用加法原理。
   • 分步用乘法：完成一件事需要几个连续的步骤，各步骤缺一不可，用乘法原理。

3. 定位法与捆绑法：

   • 定位法：在处理“在或不在同一排/组”等问题时，可以先固定一个元素的位置，再考虑其他元素，能极大简化计算。
   • 捆绑法：要求某几个元素必须相邻时，可以将它们视为一个整体进行排列，再考虑捆绑体内部的排列。

4. 巧用模型：

   • 古典型概率：基础模型，关键是准确计算分子和分母。
   • 独立重复试验：识别“n次独立重复试验，发生k次”的特征，直接套用伯努利公式。
   • 几何概型：适用于与长度、面积、体积相关的连续性概率问题，核心是“满足条件的测度 / 总测度”。

5. 先筛选，再计算：对于一些复杂的题目，可以先根据基本道理排除明显错误的选项（如例6中，甲胜率80%，最终获胜概率肯定高于80%），再进行精确计算，提高解题效率和准确率。

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