第六课递推数列

一、核心概念

1. 什么是递推数列？

想象一下多米诺骨牌，推倒第一张，后面的骨牌会依次倒下。每一张骨牌倒下的状态，都由它前面的骨牌决定。

递推数列 (Recursive Sequence) 的概念与此类似：数列中的某一项，可以通过它前面的一项或几项，按照一个固定的规则计算出来。这个固定的规则，我们称之为 递推关系。

例如，著名的斐波那契数列 1, 1, 2, 3, 5, 8, ...，从第三项开始，每一项都等于前两项之和。

第3项 2 = 第1项 1 + 第2项 1
第4项 3 = 第2项 1 + 第3项 2
...

这个“等于前两项之和”就是它的递推关系。如果我们用数学语言表达，就是 $a_n = a_{n-1} + a_{n-2}$ 。

在公务员考试中，递推数列的变化形式多样，但万变不离其宗，核心都是找出这个隐藏在数字背后的“递推关系”。常见的递推关系有以下几种：

和/差/积/商递推：当前项由前两项通过简单的加减乘除得到。
平方/立方递推：当前项与前一项的平方或立方有关。
多级递推与修正：有时，简单的递推关系不成立，需要加上或减去一个变化的“修正项”（可能是一个常数，也可能是一个变化的数列）。

2. 核心公式推导

让我们通过一些生活中的例子，来理解这些递推关系是如何构建的。

示例：电影院的座位安排

假设一个电影院，为了让观众感觉更宽敞，设计了一种特殊的座位安排：

第1排有 2 个座位。
第2排有 3 个座位。
从第3排开始，每一排的座位数都是前一排座位数的平方，再减去前两排的座位数之和。

请问第4排有多少个座位？

分析与推导：这是一个典型的递推问题。我们来一步步拆解：

确定已知项：
- 第1排座位数 $a_1 = 2$
- 第2排座位数 $a_2 = 3$
找出递推关系：
- 文字描述：“前一排座位数的平方，再减去前两排的座位数之和”
- 翻译成数学公式： $a_n = (a_{n-1})^2 - (a_{n-1} + a_{n-2})$
计算第3排座位数 ( $a_3$ )：
- 根据公式， $a_3 = (a_2)^2 - (a_2 + a_1)$
- 代入数值： $a_3 = 3^2 - (3 + 2) = 9 - 5 = 4$
- 所以，第3排有4个座位。
计算第4排座位数 ( $a_4$ )：
- 根据公式， $a_4 = (a_3)^2 - (a_3 + a_2)$
- 代入数值： $a_4 = 4^2 - (4 + 3) = 16 - 7 = 9$
- 所以，第4排有9个座位。

通过这个例子，我们不仅理解了递推关系，还亲自推导并求解了一个递推数列。考试中的题目本质上就是逆向操作：给你一串数字，让你反推出这个“座位安排”的规则。

二、真题讲解

掌握了核心概念后，我们来看几道真题，学习如何在实战中应用。我们的核心策略是：看趋势，做试探。

看趋势：观察数列数字的增减趋势。是快速变大（可能和乘法、平方有关）？还是平稳变化（可能和加减有关）？或是有正有负（可能涉及减法）？
做试探：根据趋势，大胆猜测一个递推关系，并从前往后验证。一次不行，就换一种思路。

类型一：和差类递推

例1： ( ), 47, 36, 83, 119

A. -37
B. -11
C. 11
D. 37

类型二：积商类递推（带修正）

例2： 2, 4, 3, 7, 16, 107, ( )

A. 1594
B. 1684
C. 1707
D. 1856

类型三：平方类递推（带修正）

例3：2, 3, 7, 45, 2017, ( )

A. 4068271
B. 4068273
C. 4068275
D. 4068277

类型四：复杂积商递推

例4：3, 2, 4, 4, 12, 36, ( )

A. 264
B. 396
C. 480
D. 600

三、技巧总结

趋势优先：
- 变化平缓 -> 优先考虑 和、差 关系。
- 急剧增长 -> 优先考虑 积、平方 关系。
- 有正有负/忽大忽小 -> 优先考虑减法或 带负号的乘法。
大胆试探，小心验证：
- 从最简单的 和差积商 开始试探。
- 如果不符合，尝试引入 修正项（常数修正、序列修正）。
- 始终从前往后，至少验证2-3项来确认你的猜想。
尾数法：
- 当计算量巨大，但选项尾数各不相同时，果断使用尾数法秒杀，如【例3】。
记住常见模型：
- 和/差数列： $a_n = a_{n-1} + a_{n-2}$ 或 $a_n = a_{n-1} - a_{n-2}$
- 积/商数列： $a_n = a_{n-1} \times a_{n-2}$
- 平方数列： $a_n = (a_{n-1})^2 + C$
- 掌握这些基础模型，考场上就能更快识别出变体。

递推数列的魅力在于它的千变万化，但其解题的钥匙始终是“观察-猜想-验证”这一逻辑闭环。多加练习，培养对数字的敏感度，你一定能攻克它！

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