多级数列

多级数列是数字推理中非常重要的一类题型。它的主要特点是，数列本身并没有直接的规律，但通过对相邻项进行运算（最常见的是作差），得到的新数列（二级数列）或再次运算后的数列（三级数列等）会呈现出明显的规律。

核心概念

当我们观察一个数列，发现数字之间的大小变化比较平稳，没有剧烈的倍数关系时，通常可以优先考虑它是不是一个多级数列。解题的核心就是“逐级寻找规律”。

1. 作差数列（等差数列的延伸）

这是多级数列最基本、最常见的形式。我们通过逐级作差来寻找规律。

想象一下你正在追踪一棵神奇竹子的生长情况。

• 第一天，它长了 2 厘米。
• 第二天，它长了 5 厘米。
• 第三天，它长了 9 厘米。
• 第四天，它长了 14 厘米。

我们记录下竹子每天的总高度：

• 第一天末：2 厘米
• 第二天末：2 + 5 = 7 厘米
• 第三天末：7 + 9 = 16 厘米
• 第四天末：16 + 14 = 30 厘米

这样我们就得到了一个数列：2, 7, 16, 30, ...

这个数列本身看起来没有规律。但如果我们看一下它每天“新增长”的高度，也就是作差，会得到什么呢？

• 原数列 (An): 2, 7, 16, 30
• 一级数列 (Bn = An+1 - An): 5, 9, 14 这个新数列（一级数列）看起来还是没有规律。别急，我们再对这个新数列作差：
• 二级数列 (Cn = Bn+1 - Bn): 4, 5 我们发现，二级数列呈现出“4, 5, ...”的规律，很可能是一个公差为1的等差数列。那么，二级数列的下一项就是 6。

现在，我们可以反向推导回去了：

1. 二级数列下一项是 6。
2. 那么一级数列的下一项就是 14 + 6 = 20。
3. 最终，原数列的下一项就是 30 + 20 = 50。

这个过程就是典型的“作差法”。原数列经过两次作差才出现规律，我们称之为“二阶等差数列”。如果作差一次就有规律，那就是“一阶等差数列”；作差三次才有规律，就是“三阶等差数列”。

2. 作商数列

当数列中的数字增长速度非常快，呈现明显的倍数关系时，优先考虑作商。

例：3, 3, 6, 18, ?

• 原数列 (An): 3, 3, 6, 18
• 一级数列 (Bn = An+1 / An): 1, 2, 3 我们发现，商数列是一个公差为1的等差数列。所以，商数列的下一项是 4。 因此，原数列的下一项是 18 × 4 = 72。

3. 作和数列

当数列中前两项或前几项的和与后一项有关联时，考虑作和。 例：1, 2, 3, 5, 8, ?

• 1 + 2 = 3
• 2 + 3 = 5
• 3 + 5 = 8 规律是 $A_n + A_{n+1} = A_{n+2}$。所以下一项是 5 + 8 = 13。

真题讲解

主题：作商数列

例1：3，3，6，18，（）

• A. 54
• B. 72
• C. 90
• D. 108

主题：二阶等差数列

例2：3，7，13，21，31，（）

• A. 38
• B. 41
• C. 43
• D. 49

主题：三阶等差数列

例3：1，10，31，70，133，（）

• A. 136
• B. 186
• C. 226
• D. 256

主题：递推数列（变式和数列）

例4：1，1，3，5，11，21，（）

• A. 32
• B. 38
• C. 40
• D. 43

主题：递推数列（反向和数列）

例5：52, 32, 20, 12, 8, （）

• A、3
• B、4
• C、5
• D、6

主题：隔项作差数列

例6：1, 1, 5, 7, 13, （）

• A、15
• B、17
• C、19
• D、21

主题：四阶等差数列

例7：4，1，0，2，10，29，66，（）

• A、101 B、116 C、125 D、130

技巧总结

1. 先看趋势：

   • 平稳变化 -> 优先 作差。这是多级数列最核心、最普适的方法。
   • 倍数增长 -> 优先 作商。
   • 波动或有小有大 -> 考虑 递推、分段或隔项等特殊规律。

2. 作差是基础：当其他方法都看不出规律时，回归作差法，多差几级，直到找出规律为止。大部分多级数列都是二阶或三阶等差。

3. 对新数列保持敏感：作差/商/和之后得到的新数列，要立刻判断它属于哪种基础数列（等差、等比、平方、立方等）。

4. 小心递推：对于形如 $A, B, A+B, ...$ 或 $A, B, A \times B, ...$ 的形式要特别敏感，递推关系有时隐藏得比较深，需要多尝试几种运算组合。

5. 耐心推导：多级数列的计算步骤较多，尤其是在反向推导时，要细心，避免计算错误。

强化练习

【练1】16，16，24，48，120，（）

• A. 240
• B. 260
• C. 320
• D. 360

【练2】26，50，98，194，（）

• A. 388
• B. 386
• C. 390
• D. 384

【练3】7，14，33，70，131，（）

• A. 264
• B. 222
• C. 230
• D. 623

【练4】3，11，35，107，（）

• A. 321
• B. 324
• C. 323
• D. 322

【练5】6，7，12，18，29，（）

• A. 52
• B. 50
• C. 48
• D. 46

【练6】1，6，15，28，（），66

• A. 45
• B. 40
• C. 35
• D. 56

【练7】3，5，9，17，（），65

• A. 45
• B. 33
• C. 25
• D. 56

【练8】5，126，175，200，209，（）

• A. 210
• B. 212
• C. 213
• D. 215

【练9】4，8，13，19，23，（），34

• A. 25
• B. 27
• C. 28
• D. 31

【练10】17，29，43，61，87，（）

• A. 167
• B. 115
• C. 259
• D. 129

【练11】21，27，40，61，94，148，（）

• A、239 B、242 C、246 D、252

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