质数与合数

一、核心概念

1. 什么是质数与合数？

在学习质数与合数之前，我们先来回顾一下“因数”的概念。如果整数a能被整数b整除，那么a就是b的倍数，b就是a的因数。例如，6能被2整除，所以6是2的倍数，2是6的因数。

通过一个生活中的例子，我们就能发现数字的“可分性”有所不同，这就引出了质数和合数的概念。

质数（Prime Number）：又称素数。在大于1的自然数中，除了1和它本身以外不再有其他因数的数。例如2、3、5、7等。它们非常“纯粹”，除了1和自己，不能被其他任何数“分解”。
合数（Composite Number）：在大于1的自然数中，除了1和它本身以外还有别的因数的数。例如4、6、8、9等。它除了1和本身，还有其他因数。

特别注意：

数字1：1既不是质数，也不是合数。它只有一个因数，就是1本身。
数字0：0既不是质数，也不是合数。
最小的质数是2，它也是唯一的偶数质数。
最小的合数是4。所有大于2的偶数都是合数。

2. 质因数分解（唯一分解定理）

质因数分解是解决很多数学问题的“瑞士军刀”。它的核心思想是：任何一个大于1的自然数都可以唯一地分解成若干个质数的乘积。这个定理也叫算术基本定理。公式表示为： $n = p_1^{\alpha_1} p_2^{\alpha_2} \dots p_k^{\alpha_k}$ 其中 $p_i$ 为质数， $\alpha_i$ 为正整数。

举例：分解合数 36 这就像把一个大的积木块，拆解成最基础、不可再分的“质数小积木块”。 $36 = 2 \times 18 = 2 \times 2 \times 9 = 2 \times 2 \times 3 \times 3 = 2^2 \times 3^2$ 这里的2和3就是36的质因数。通过质因数分解，我们可以清晰地看到一个数字的“基因构成”。

3. 约数个数公式

若一个数n的质因数分解为 $n = p_1^{\alpha_1} p_2^{\alpha_2} \dots p_k^{\alpha_k}$ ，则其正约数的个数为： $d(n) = (\alpha_1 + 1)(\alpha_2 + 1)\dots(\alpha_k + 1)$

例：求12的正约数个数。

分解质因数： $12 = 2^2 \times 3^1$
套用公式：约数个数 = $(2+1) \times (1+1) = 3 \times 2 = 6$ 个。
验证：12的约数有1, 2, 3, 4, 6, 12，共6个。

4. 约数和公式

若一个数n的质因数分解为 $n = p_1^{\alpha_1} p_2^{\alpha_2} \dots p_k^{\alpha_k}$ ，则其所有正约数的和为： $\sigma(n) = (1 + p_1 + \dots + p_1^{\alpha_1}) \times \dots \times (1 + p_k + \dots + p_k^{\alpha_k})$

二、真题讲解

主题1：质数与合数的奇偶性应用

例1：三个不同的质数 a, b, c，满足 a + b = c，那么 a 的值是多少？

A. 2
B. 3
C. 5
D. 无法确定

主题2：质因数分解的实际应用

例2：两个质数的和是39，它们的积是多少？

A. 120
B. 74
C. 118
D. 无法计算

主题3：结合年龄问题的综合推理

例3：今年父亲和儿子的年龄之和为48岁。若干年前，父亲的年龄正好是儿子的7倍，那时父亲的年龄是一个质数。请问父亲今年的年龄是多少岁？

A. 37
B. 39
C. 41
D. 43

主题4：质数乘积与最值问题

例4：三个质数的和为80，求它们乘积的最大值。

A. 2024
B. 2876
C. 3034
D. 3122

主题5：合数性质与约数定理

例5：若自然数 n 有10个正约数，求 n 的最小值。

A. 48
B. 72
C. 128
D. 512

三、技巧总结

奇偶性是金钥匙：涉及质数加减法的问题，首先从业内唯一的偶数质数“2”入手。分析和或差的奇偶性，往往能快速锁定其中一个质数为2。
质因数分解是利器：遇到求乘积、因数个数、最大公约数、最小公倍数等问题时，第一时间想到对数字进行质因数分解，化繁为简。
牢记常见质数：背诵100以内的所有质数，可以极大提高解题速度。
- 100以内质数表 (25个): 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97。
- 性质：除2和5外，其他质数的个位只能是1、3、7、9。
“年龄差不变”原则：在年龄问题中，两人的年龄差是恒定不变的。这个性质可以结合倍数关系，快速排除错误选项。
“和定差小积大”：在求解多个数字乘积最大值问题时，如果它们的和是固定的，那么这些数字越接近，它们的乘积就越大。
审题要严谨：注意题目中的每一个限定词，如“不同”、“大于1”、“质数”等，这些都是解题的关键线索。如例3所示，有时题目条件本身可能存在冲突，需要有辨析能力。

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