方程法

方程法是解决数量关系问题最通用、最重要的方法之一。它通过将问题中的未知量设为变量，根据等量关系列出方程或方程组，从而求解问题。掌握方程法，就等于拥有了应对大多数数量关系题目的“万能钥匙”。

一、核心概念

1. 适用场景

方程法几乎适用于所有类型的数量关系题目，尤其在以下题型中表现突出：

• 和差倍比问题：涉及几个量之间的和、差、倍数、比例关系。
• 追及与相遇问题：行程问题中的经典模型。
• 工程问题：工作总量、效率和时间的关系。
• 经济利润问题：成本、售价、利润、折扣等。
• 溶液问题：混合前后溶质不变。
• 鸡兔同笼及盈亏问题：两种对象的数量和总量关系。

2. 设置未知数的原则

一个好的未知数设定，能让复杂的计算过程化繁为简。

• 优先设所求：题目问什么，就设什么为 x，这是最直接的思路。
• 优先设“小”不设“大”：当题目涉及多个量，且存在倍数关系时（如甲是乙的3倍），优先设较小的量（乙）为 x，这样可以避免产生分数，简化计算。
• 优先设“1份”：当问题涉及复杂的比例关系时，可以设其中“1份”为 x，其他量用 x 的倍数来表示，这种“份数法”在比例问题中非常有效。
• 巧设中间量：当问题中各量关系复杂，直接设所求量很困难时，可以引入一个中间变量，通过它来表达其他量，最终求解。

3. 重要公式推导

1. 等比公式

$\frac{a}{b} = \frac{c}{d} \implies \frac{a}{b} = \frac{c}{d} = \frac{a \pm c}{b \pm d}$

生活化推导：

想象一下，我们有两个班级，公考一班和公考二班。

• 公考一班有 b 人，其中男生有 a 人，那么男生占比就是 a/b。
• 公考二班有 d 人，其中男生有 c 人，那么男生占比就是 c/d。

现在，我们假设这两个班的男生占比是相同的，也就是 a/b = c/d。

那么，如果我们将这两个班合并成一个大班，会发生什么呢？

• 合并后总人数：b + d
• 合并后总男生数：a + c
• 合并后大班的男生占比：(a+c) / (b+d)

因为原来两个班的男生占比相同，所以合并后的大班，其男生占比不会改变，仍然等于原来的比值。这就得到了合比定理：

$\frac{a}{b} = \frac{c}{d} = \frac{a+c}{b+d}$

同理，如果我们从一班中，按比例“抽出”一个和二班人数、男生数都相同的虚拟小团体（d人和c个男生），那么剩下的人里，男生比例仍然不变。这就得到了分比定理：

$\frac{a}{b} = \frac{c}{d} = \frac{a-c}{b-d}$

这个公式在处理溶液混合、平均数混合等问题时有奇效。

2. 占比转换公式

推导过程：

这个公式非常直观，我们可以用“份数”来理解。

1. “甲占乙的 m/n” 意味着，如果我们将乙看作 n 份，那么甲就是 m 份。
2. 那么，甲和乙的总和就是 m + n 份。
3. 因此，甲占总和的比例就是 m / (m+n)。

这个简单的结论在处理复杂的占比问题时，能够帮助我们快速转换比例关系。

二、真题讲解

溶液混合问题

例1： 有甲、乙两瓶盐水，其浓度分别为16%和25%；质量分别为600克和240克，若向这两瓶溶液中加入等量的水，使它们的浓度相同，则需要向这两瓶盐水中分别加入的水量为：

• A. 320克
• B. 360克
• C. 370克
• D. 377克

比例与占比问题

例2： 公司销售部门共有甲、乙、丙、丁四个销售小组，本年度甲组销售金额是该部门销售金额总数的 1/3，乙组销售金额是另外三个小组总额的 1/4，丙组销售金额比丁组销售金额多 200 万元，比甲组少 200 万元。问销售部门销售总金额是多少万元？

• A. 1800
• B. 2400
• C. 3000
• D. 3600

多对象参照系问题

例3： 姐弟四人要为妈妈买生日礼物，四个人的钱合在一起是180元，如果老大钱数增加8元，老二钱数减少8元，老三钱数乘以2倍，老四钱数减少到原来的一半，则此时四个人的钱数相同。若其中两人的钱数凑在一起正好买一个价格为68元的音乐盒，则这两个人是：

• A. 老二和老三
• C. 老大和老二
• B. 老大和老三
• D. 老二和老四

工程问题

例4： 一项工程，甲队单独做需要20天完成，乙队单独做需要30天完成。两队合作开始，但中途甲队因故离开，由乙队继续完成剩余部分，从开工到完工总共用了15天。请问甲队工作了多少天？

• A. 5天
• B. 8天
• C. 10天
• D. 12天

行程问题

例5： A、B两地相距450公里，甲、乙两车分别从A、B两地同时出发，相向而行。甲车速度为120公里/小时，乙车速度为80公里/小时。经过多少小时后，两车尚相距50公里？

• A. 2
• B. 2.5
• C. 2或2.5
• D. 1.5或2

三、技巧总结

1. 方程法是基石：当你遇到一个数量关系题，毫无头绪时，列方程永远是你可以信赖的最后选择。它可能不是最快的，但一定是最稳的。

2. 一题多解，灵活变通：很多题目既可以用方程法，也可以用特殊值法、比例法、代入排除法等。平时练习时，要多尝试不同的方法，理解每种方法的优劣和适用场景。

3. 识别“等量关系”是核心：列方程的关键在于找出题目中隐藏的等量关系。常见的等量关系有：

   • 总量不变：如溶液混合前后溶质不变，总钱数不变等。
   • 最终状态相等：如追及问题中路程相等，本专题例题中浓度相等、钱数相等。
   • 输入等于输出：如工程问题和牛吃草问题。

4. 注意单位和细节：列方程时务必统一单位。例如，时间用小时还是分钟，金额用元还是万元。微小的疏忽可能导致结果全盘皆错。

5. 善用“份数”思想：在处理比例问题时，将比例看作“份数”，设每份为 x，是简化问题的绝佳技巧。

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