一笔画图形判断

一、一笔画图形的定义

一笔画图形指的是在不重复笔画的情况下，从某个点开始，经过图形的所有边一次且仅一次，最终完成整个图形的描绘。

在图论中，这对应于 欧拉路径（Euler Path） 或 欧拉回路（Euler Circuit）。

• 欧拉路径：从一个顶点出发，经过所有边一次且仅一次，但起点和终点可能不同。
• 欧拉回路：从一个顶点出发，经过所有边一次且仅一次，且最后回到起点。

二、判断方法（关键：顶点的度数）

在图论中，“度数”指的是一个顶点连接的边的条数。 一笔画的判断标准：

1. 欧拉回路（闭合一笔画）： 图中所有顶点的度数都是偶数，则可以一笔画且回到起点。

2. 欧拉路径（非闭合一笔画）： 图中恰有 2 个顶点的度数为奇数，其他顶点度数均为偶数。 这两个奇数度顶点分别是起点和终点。

3. 无法一笔画：

   • 如果奇数度顶点超过 2 个，就不可能一笔画。
   • 如果图形不连通（被分成多个部分），也无法一笔画。

三、直观特征总结

• 所有点度数为偶数 → 可以一笔画并回到起点。
• 只有两个点度数为奇数 → 可以一笔画，但起点和终点不同。
• 奇数点超过两个 → 不能一笔画。

四、举例说明

1. 三角形 每个顶点度数都是 2（偶数），所以可以一笔画并回到起点。

2. 长方形加一条对角线

   • 对角线连接的两个顶点度数变为 3（奇数），
   • 其他两个顶点度数是 2（偶数）。
   • 所以有两个奇数度顶点，可以一笔画，但起点和终点不同。

3. 五角星 每个顶点度数为 2（偶数），所以可以闭合一笔画。

两/多笔画判断

你已经知道 一笔画 的判定方法（依靠顶点度数是否为偶数/两个奇数/超过两个奇数）。 那么“两笔画”、“三笔画”就是最少需要几笔才能完成图形的问题。这个在图论里对应 欧拉路径分解（Euler trail decomposition）。

一、核心思路

• 每一笔相当于一条“欧拉路径”。
• 如果一个图里有很多奇数度顶点，那么不可能一次走完，必须分成几段（几笔）。
• 关键：每条欧拉路径最多可以“消耗”两个奇数度顶点（它的起点和终点）。

因此：

• 如果一个图有 $2k$ 个奇数度顶点，那么至少需要 $k$ 笔。
• 如果没有奇数度顶点（全是偶数），那么只需要 1 笔。

二、判定规则

设奇数度顶点数为 $O$：

1. O = 0 → 一笔画（欧拉回路）。

2. O = 2 → 一笔画（欧拉路径，首尾不同）。

3. O = 4 → 至少需要 2 笔画（因为每笔最多消耗 2 个奇数度顶点）。

4. O = 6 → 至少需要 3 笔画。

5. 一般情况

   • 需要的笔数 = $\max(1, \frac{O}{2})$。
   • 这里的 “1” 是因为即使 $O=0$，仍然需要至少一笔。

三、直观理解

• 一笔画问题：只有 0 或 2 个奇数度点。
• 两笔画问题：必须有 4 个奇数度点。
• 三笔画问题：必须有 6 个奇数度点。
• 奇数度点越多，笔数越多。

四、举例说明

1. 矩形加一条对角线

   • 两个顶点度数 = 3（奇数），另外两个 = 2（偶数）。
   • 只有 2 个奇数点 → 一笔画。

2. “Y”字形（三条线汇聚成一个点）

   • 中心点度数 = 3（奇数），三个端点度数 = 1（奇数）。
   • 一共有 4 个奇数点 → 必须至少两笔。

3. 三叉星形（六个端点，中间点度数 = 6）

   • 中间点度数偶数，六个端点度数 = 1（奇数）。
   • 一共有 6 个奇数点 → 必须至少三笔。

五、总结口诀

• 奇数点个数 / 2 = 最少笔数
• 没有奇数点 → 1 笔。