巧用“倍数整除”快速解题

在数量关系模块中，很多题目看似复杂，计算量很大，但实际上出题人往往会留下一些“后门”，也就是快速解题的技巧。“倍数整除”就是其中最常用、最高效的技巧之一。掌握了整除的特性，许多题目甚至可以“秒杀”。

一、核心概念

什么是整除？

我们小学就学过，整除是指一个整数a除以另一个非零整数b，商为整数，且余数为零。我们就说a能被b整除（或b能整除a）。

举个生活中的例子：

班上有30个同学，老师带来了30个苹果。现在要把苹果平均分给每个同学，每个同学能分到多少个？

这个问题很简单，就是 $30 \div 30 = 1$。每个同学分1个苹果，正好分完，没有剩余。这就是整除。

如果老师只带来了29个苹果，要分给30个同学，怎么办？

这就没法平均分了，因为29除以30，商不是整数。我们会说，不够分，还差一个。

在公考题目中，很多时候题目的背景会涉及“人数”、“物品数量”、“钱数”等，这些量在大多数情况下都应该是整数，这就为我们使用整除特性提供了前提。

常用数字的整除判定法则

掌握常用数字的整除判定法则是使用技巧的基础。下面我们来推导和学习一些常见的判定法则。

1. 被2、4、5、8、25、125整除的特征（看尾数）

• 被2整除：一个数的个位是偶数（0, 2, 4, 6, 8）。
• 被5整除：一个数的个位是0或5。
• 被4/25整除：一个数的末两位能被4或25整除。
  • 推导(4)：任何一个大于100的数，我们都可以写成 $100 \times a + b$ 的形式，其中b是这个数的末两位。因为100能被4整除（$100 = 4 \times 25$），所以$100 \times a$也一定能被4整除。那么，这个数能否被4整除，就完全取决于它的末两位b了。
  • 推导(25)：同理，因为100也能被25整除，所以数能否被25整除，只看末两位。
  • 例：判断1384是否能被4整除。我们看末两位84，因为$84 \div 4 = 21$，所以1384能被4整除。
  • 例：判断1375是否能被25整除。我们看末两位75，因为$75 \div 25 = 3$，所以1375能被25整除。
• 被8/125整除：一个数的末三位能被8或125整除。
  • 推导：原理同上。任何一个数可以写成 $1000 \times a + b$，b是末三位。因为1000能被8整除（$1000 = 8 \times 125$），也同时能被125整除，所以数能否被8或125整除，只看末三位b。
  • 例：判断54321是否能被8整除。我们看末三位321。$321 \div 8 = 40 ... 1$，有余数，所以54321不能被8整除。
  • 例：判断54375是否能被125整除。我们看末三位375。$375 \div 125 = 3$，所以54375能被125整除。

2. 被3、9整除的特征（看各位数字之和）

• 被3整除：一个数的各位数字之和能被3整除。
• 被9整除：一个数的各位数字之和能被9整除。
  • 推导：我们以一个三位数abc为例，它的值是 $100a + 10b + c$。
  • 我们可以把它变形： $100a + 10b + c = (99a + a) + (9b + b) + c$ $= (99a + 9b) + (a+b+c)$
  • 因为$99a$和$9b$显然都能被9（和3）整除，所以 $(99a + 9b)$ 也一定能被9（和3）整除。
  • 那么，这个数能否被9（或3）整除，就完全取决于各位数字之和 $(a+b+c)$ 是否能被9（或3）整除。这个规律对任意位数的整数都成立。
  • 例：判断12345是否能被3整除。各位数字之和为 $1+2+3+4+5=15$。因为15能被3整除，所以12345能被3整除。
  • 例：判断54321是否能被9整除。各位数字之和为 $5+4+3+2+1=15$。因为15不能被9整除，所以54321不能被9整除。

3. 特殊质数7, 11, 13的整除特征

• 被11整除：
  1. 奇偶位差法：一个数的奇数位上数字之和与偶数位上数字之和的差（大减小）能被11整除。
     • 例：判断1234567是否能被11整除。
     • 奇数位之和：$7+5+3+1 = 16$
     • 偶数位之和：$6+4+2 = 12$
     • 差为 $16 - 12 = 4$。4不能被11整除，所以1234567不能被11整除。
  2. 割尾法：一个数，去掉它的个位数，再用剩下的数减去这个个位数。如此反复，如果最后的结果能被11整除，则原数能被11整除。
• 被7整除：
  • 割尾法：一个数，去掉它的个位数，再用剩下的数减去这个个位数的2倍。如此反复，如果最后的结果能被7整除，则原数能被7整除。
    • 例：判断413是否能被7整除。
    • $41 - 3 \times 2 = 35$。因为35能被7整除，所以413能被7整除。
• 被7, 11, 13整除的共同特征（割三位）
  • 原理：因为 $7 \times 11 \times 13 = 1001$。
  • 方法：一个数，从右往左每三位一节，然后奇数节之和减去偶数节之和，如果差能被7（或11、13）整除，则原数能被7（或11、13）整除。
  • 例：判断 12345678 是否能被7整除。
  • 分节：12 | 345 | 678
  • 奇数节之和：$678 + 12 = 690$ (注意，最左边的不足三位也算一节)
  • 偶数节之和：$345$
  • 差：$690 - 345 = 345$
  • 判断345能否被7整除：$345 \div 7 = 49 ... 2$。不能。所以12345678不能被7整除。

整除的核心性质

1. 传递性：如果a能被b整除，b能被c整除，那么a能被c整除。
2. 和差性：如果a和b都能被c整除，那么a+b和a-b也都能被c整除。
3. 倍数性：如果a能被b整除，那么a的任意整数倍也能被b整除。
4. 乘积性：如果a能被b整除，也能被c整除，且b和c互质（最大公约数为1），那么a一定能被 b×c 整除。（注意：b、c必须互质，否则结论不成立。例如6能被2整除，也能被6整除，但不能被12整除）

整除特性的三大应用模型

在掌握了基本的判定法则和性质后，我们还需要了解这些工具在解题中通常以什么样的“模型”出现。

模型一：整除型

如果题目条件可以转化为 $A = B \times C$（其中B、C为整数）的形式，那么我们可以判定 A 能被 B 或 C 整除。

应用场景：

• 题干中出现“倍数”、“平均”、“每”等关键词。
• 题目涉及的对象在现实中不可分割，例如人数、物品数、车辆数等，其结果必然是整数。

模型二：余数型

如果题目条件可以表述为“总量除以 a 余 b”，即 总量 = a × n + b（n为整数商），那么我们可以转化为 总量 - b 能被 a 整除。

应用场景：

• 题目直接描述为“每...余...”或“每...差...”的形式。
• “多k”对应“减k后整除”，“缺k”对应“加k后整除”。

模型三：比例型

如果题目条件给出了两个量的比例关系 $a : b = m : n$ （其中m、n互质），我们可以得到两个重要结论：

• $a$ 是 $m$ 的倍数，$b$ 是 $n$ 的倍数。
• $a+b$ 是 $m+n$ 的倍数，$a-b$ 是 $m-n$ 的倍数（如果a>b）。

应用场景：

• 题目中出现分数、百分数、比例关系。
• 易错点：使用比例型时，务必将比例化为最简整数比（例如4:6要先化简为2:3）。

二、真题讲解

整除思想在解题时，往往不是孤立存在的，而是需要我们从题干中发掘线索，并结合选项来使用。

主题1：余数问题中的整除应用

例1： 某单位组织员工去旅游，要求每辆汽车坐的人数相同。如果每辆车坐20人，会剩下2人；如果每辆车坐24人，也会剩下2人；如果每辆车坐30人，还是剩下2人。问该单位至少有多少名员工参加旅游？

• A. 120
• B. 122
• C. 240
• D. 242

主题2：利用特殊数字的整除特性解不定方程

例2： 某超市购进一批商品，成本为每件9元，售价为每件12元。某天该商品卖出了一些，另外有3件因为有瑕疵，商家决定每件降价2元亏本处理。最终结算发现当天总共盈利99元。问当天一共卖出了多少件商品？

• A. 36
• B. 42
• C. 45
• D. 54

主题3：比例关系中的整除应用

例3：(2017联考) 已知足球与篮球的数量之比为8:7，求足球的数量可能是多少？

• A. 48
• B. 42
• C. 36
• D. 30

三、技巧总结

1. 应试要点总结

2. 核心思维与易错点

• “反向”思维是关键：不要总想着列复杂方程去解题，很多时候从选项入手，代入题干给出的整除关系去验证，是最高效的方法（选项验证法）。

• 寻找“整数”线索：题干中出现“人数”、“个数”、“车辆数”、“钱（分）”等通常为整数的量，或者“每”、“平均”等词眼时，就要高度警惕是否能使用整除法。

• 抓主要矛盾：当有多个整除条件时，优先使用最特殊的数字（如7, 9, 11）去检验，因为它们的倍数比较稀疏，更容易排除选项。

• 整除与余数不分家：余数问题本质上就是整除问题。a ÷ b = c ... d 等价于 a - d 能被 b 整除。务必分清是“多k”还是“缺k”。

  • “多k”则减k后能整除。
  • “缺k”则加k后能整除。

• 警惕比例陷阱：在使用比例型解题时，必须确保给定的比例已经化为最简整数比。例如，若甲乙比为4:6，则甲是2的倍数，而不是4的倍数。

3. 常用速算口诀

• 2/5 看末1：看个位数。
• 4/25 看末2：看末两位数。
• 8/125 看末3：看末三位数。
• 3/9 看其和：看各位数字之和。
• 7/11/13 看三位：分组错位相减，看其差。
• 比例型核心：A:B=m:n（互质），则A是m倍数，B是n倍数。

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