过河问题

一、核心概念：过河问题的本质

过河问题是公考数量关系中的经典题型，它考察的是在资源有限（船的容量）的情况下，如何最高效地安排调度完成任务。其本质是一个优化调度问题。

我们通过一个常见的例子来理解这个过程并推导公式。

场景：想象一下，一个班有37名同学去公园春游，需要划船过一条河。但公园只有一只小船，这只船一次最多只能坐5个人。现在需要把所有同学都运到对岸，应该如何安排呢？

推导过程：

首次渡河：第一次，必须坐满5名同学划到对岸。到达后，为了让船能回来接剩下的人，必须从这5人中留下1人将船划回来。
- 去程：5人到达对岸。
- 回程：1人划回始发岸。
- 结果：经过一个来回（两次单程），成功将 5 - 1 = 4 人运到了对岸，船回到了始发岸，准备好接下一批人。
中间循环：这个“运4人到对岸”的过程可以不断重复。每完成一个来回，始发岸就减少4个人。
最后一次渡河：当始发岸剩下的人数不多于5人时（即船的容量），他们只需要一次单程就可以全部到达对岸，并且无需再返回。
计算批次：现在我们来计算需要多少“批次”（即从始发岸出发的次数）。
- 总人数 M = 37 人，船的容量 N = 5 人。
- 我们先将最后一次过河的 N=5 人“预留”出来。那么需要通过“来回”方式运送的人数是 M - N = 37 - 5 = 32 人。
- 每个“来回”可以运送 N - 1 = 4 人。
- 因此，运送这32人需要的“来回”次数是 32 / 4 = 8 次。
- 这8次“来回”意味着船从始发岸出发了8次。
- 最后，加上运送预留的5人的那最后1次出发。
- 总共需要从始发岸出发的次数（批次）为 8 + 1 = 9 次。

核心公式：由此，我们得到通用的核心公式：

出发批次（考试中最常见的问法）： $\text{总批次} = \lceil \frac{M - N}{N - 1} \rceil + 1$
总单程次数（如果题目问总共划了多少次）： $\text{总单程数} = 2 \times \lceil \frac{M - N}{N - 1} \rceil + 1$

其中：

例1：有37名红军战士渡河，现仅有一只小船，每次只能载5人，需要几次才能渡完？

“青蛙跳井”问题在本质上与过河问题同源，可以看作是“过河”距离为井深，“船”的容量为白天向上跳的高度，“划船回来的人”为晚上滑下的距离。

例2：有一只青蛙掉入一口深20米的井中。每天白天这只青蛙能向上跳5米，但晚上会滑下3米。问这只青蛙至少需要多少天才能从井中跳出？

理解核心：牢记过河问题的本质是“循环 + 最后冲刺”。不要死记硬背公式，而要理解 M-N 和 N-1 的实际意义。
审清题意：看清题目问的是“出发次数/批次/天数”还是“总的单程次数”。前者使用 +1 公式，后者需要将循环次数乘以2再 +1。公考中绝大多数问的是前者。
向上取整：在计算循环次数 (M-N)/(N-1) 时，如果结果不是整数，必须向上取整。因为哪怕只剩下1个人，也需要启动一次完整的“来回”流程。
识别变型：如“青蛙跳井”、“工人搬货上楼（搬上去又空手下来）”等问题，都可以转化为过河模型求解。关键是找出 M（总任务量）、N（单次前进量）和 N-1（净完成量）。

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