周期问题
周期余数问题
一、核心概念解析
1. 什么是周期与余数？
周期问题是公务员考试中的常见题型，它源于我们生活中的各种循环现象。比如，时钟的指针、一周的七天、一年的四季、我们的十二生肖等等。
核心公式： 这个公式是解决所有周期问题的基础：
让我们通过一个生活中的例子来理解这个公式：
场景模拟： 假设有4位同学（小明、小红、小刚、小李）轮流打扫卫生，顺序是：小明 → 小红 → 小刚 → 小李，每天一人。请问第10天轮到谁打扫？
2. 日期与历法规则
在涉及日期的周期问题中，我们必须掌握一些基本的历法知识。
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平年与闰年判断
- 非整百年：能被4整除的是闰年（如2024年）。
- 整百年：能被400整除的是闰年（如2000年），不能被400整除的是平年（如1900年）。
- 平年365天，闰年366天（2月有29天）。
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月份天数
- 大月（31天）：1、3、5、7、8、10、12月。
- 小月（30天）：4、6、9、11月。
- 特殊月：2月（平年28天，闰年29天）。
二、真题精讲
1.基础周期计数问题
【例1】(2020四川) 某支部的每名党员均以5天为周期，在每个周期的最后1天内提交1篇学习心得。某年的1月1日是周日，在1月1日—5日的5天内，支部分别收到2篇、3篇、3篇、1篇和1篇学习心得。问当年前12周(每周从周日开始计算)内，支部共收到多少篇学习心得? A. 170 B. 169 C. 120 D. 119
2.行程接力周期问题
**【例2】(2023山东)**甲、乙、丙在400米标准跑道上跑步，甲跑一圈用2分钟，乙用1.5分钟，丙用2.5分钟。若甲、乙、丙按顺序轮流每人半圈接力跑，共跑1600米，问乙一共跑了多少分钟？ A. 2 B. 2.25 C. 3 D. 3.25
3.数列余数周期问题
【例3】(2024黑龙江) 有一组数按如下规律排列：第一个数是1，第二个数是2，从第三个数起，每一个数恰好是其前两个数之和。问这列数中第2024个数除以4所得的余数是（ ）。 A. 3 B. 2 C. 1 D. 0
周期相遇问题
一、核心概念解析
1. 什么是相遇问题？
周期相遇问题，通常涉及多个具有不同独立周期的主体，它们从同一时间点开始，我们需要计算它们下一次在终点“相遇”的时刻。
核心概念：最小公倍数 (LCM - Least Common Multiple)
场景模拟： 小明每隔3天（即每4天去一次）去一次图书馆，小红每隔5天（即每6天去一次）去一次。如果今天（周一）他们在图书馆相遇了，下一次他们将在哪一天相遇？
2. "每隔n天"的陷阱
重点易错概念：这是周期问题中最容易出错的概念，必须牢记！
概念对比：
| 表述方式 | 实际含义 | 周期长度 | 举例说明 |
|---|---|---|---|
| 每n天 | 连续n天为一个周期 | n | 每3天→周期3天 |
| 每隔n天 | 中间间隔n天，实际周期 | n+1 | 每隔3天→周期4天 |
详细解析：
- 每n天：周期就是 n。
- 例如："每3天去一次"，意思是第1天去，第4天去，第7天去...周期是3天。
- 每隔n天：表示中间空了n天，实际周期是 n+1 天。
- 例如："每隔3天去一次"，意思是第1天去了，然后空2,3,4三天，第5天再去。周期是 1+3=4 天。
记忆技巧：
- "隔"字提醒：看到"每隔n天"，就要想到中间"隔"了n天，所以要"+1"。
- 生活联想：就像我们说"每隔一天"，实际上是第1天、第3天、第5天...，间隔是2天。
3. 周期问题统一解题方法
基于参考众多真题，我们总结出周期问题的统一三步法：
第一步：找周期
- 确定循环单位长度 T
- 星期问题：T = 7
- 轮流问题：T = 人数
- 相遇问题：T = 各周期的最小公倍数
第二步：算余数
- 计算总数量 N
- 求余数：
余数 = N mod T - 注意：若余数为0，表示刚好完成整个周期，取周期的最后一项
第三步：确定答案
- 根据余数在周期中的位置，确定最终答案
- 周期相遇问题：答案为初始时刻 + 余数个周期长度
二、真题精讲
1. 信号灯同步问题
【例1】(2022河北) 两个信号灯分别以30秒和36秒的固定间隔闪亮一次，若他们10点第一次同时闪亮，则第七次同时闪亮的时间为： A. 10:15 B. 10:16 C. 10:18 D. 10:21
2. 多主体日期相遇问题
【例2】(2021黑龙江) 甲乙丙三个志愿者共同照顾李奶奶，甲每4天去一次，乙每5天去一次，丙每6天去一次。如果他们三个于5月5日在李奶奶家同时见面，则他们三人下次在李奶奶家同时见面的时间是： A. 7月4日 B. 7月5日 C. 9月1日 D. 9月2日
3. 线段重叠周期问题
【例3】(2021广东) 一条长20厘米的纸带，先从左端开始涂上4厘米红色，之后每间隔4厘米再涂4厘米红色；再从右端开始涂上5厘米绿色，之后每间隔5厘米再涂5厘米绿色，则红绿色重叠的部分共有（ ）段。 A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
星期日期推断问题
一、核心概念解析
1. 星期循环的基本规律
星期日期推断问题是周期问题的一种特殊应用，它基于星期的7天循环这一天然周期。
核心结论：
- 每连续7天包含周一至周日各1天
- 每连续28天包含周一至周日各4天
- 任何日期的星期几 = (该日期与参考日期的天数差) mod 7
2. 解题的关键思路
核心思路：通过已知条件（如某月工作日数量）反推某个特定日期的星期几。
常见题型：
- 已知某月工作日数量，求1号是星期几
- 已知某日是星期几，求另一日是星期几
- 结合平年闰年判断，进行跨年计算
二、真题精讲
1. 工作日推断星期问题
【例1】(2020联考) 8月有22个工作日，问8月1日可能是周几？
A. 周一或周二
B. 周二或周三
C. 周三或周四
D. 周四或周五
其他周期问题
1. 数列避让问题
【例1】(2021江苏) 某公司举办迎新晚会，参加者每人都领取一个按入场顺序编号的号牌。晚会结束时宣布：从1号开始向后每隔6个号的号码可获得纪念品A，从最后一个号码开始向前每隔8个号的号码可获得纪念品B。最后发现没有人同时获得纪念品A和B，则参加迎新晚会的人数最多有： A. 46人 B. 48人 C. 52人 D. 54人