数字特性法

数字特性法是解决行测数量关系问题的"核武器"。当题目中的数据具有某些特殊性质时，运用数字特性法往往可以避开复杂的计算，实现快速秒杀。学习本章，你将掌握通过观察数字的"蛛丝马迹"来破解难题的能力。

1. 奇偶特性

1.1 核心概念

1.1.1 定义

奇数：不能被2整除的整数，表达式为 2k+1 (k为整数)。例如：-3, -1, 1, 3, 5。
偶数：能被2整除的整数，表达式为 2k (k为整数)。例如：-4, -2, 0, 2, 4。注意：0是偶数。

1.1.2 性质推导

我们在生活中经常遇到奇偶数，比如门牌号的单双号。我们可以用最简单的方式理解它们的运算性质。

加减法
- 偶 ± 偶 = 偶
  推导：两个偶数 2k 和 2m。2k ± 2m = 2(k ± m)。结果是2的倍数，所以是偶数。 例子：2个苹果 + 4个苹果 = 6个苹果。
- 奇 ± 奇 = 偶
  推导：两个奇数 2k+1 和 2m+1。(2k+1) + (2m+1) = 2k+2m+2 = 2(k+m+1)。结果是2的倍数，所以是偶数。 例子：你有1块钱，我有3块钱，咱俩凑一起就有4块钱了。
- 奇 ± 偶 = 奇 推导：一个奇数 2k+1 和一个偶数 2m。(2k+1) ± 2m = 2(k ± m) + 1。结果是奇数。 例子：你有3个苹果，我拿走了2个，你还剩1个。
乘法
- 偶 × 任意整数 = 偶 推导：只要有一个偶数 2k 参与乘法，2k × n = 2(kn)。结果一定是2的倍数，即偶数。 结论：一堆数相乘，只要有一个是偶数，结果就是偶数。反之，如果结果是奇数，那么所有参与相乘的数都必须是奇数。
- 奇 × 奇 = 奇 推导：(2k+1) × (2m+1) = 4km + 2k + 2m + 1 = 2(2km+k+m) + 1。结果是奇数。
和差同性
- 任意两个整数的和与差，奇偶性相同。 这个性质非常重要！
- 证明：
  1. 如果两数(a, b)是"同奇同偶"，那么 a+b 和 a-b 都是偶数。
  2. 如果两数(a, b)是"一奇一偶"，那么 a+b 和 a-b 都是奇数。
- 应用：知道 a+b 是奇数，马上就能推断出 a-b 也是奇数，反之亦然。这在"代入排除法"中是秒杀选项的利器。

1.2 奇偶性应用

1.2.1和差奇偶同性

例题1：数字看反问题 一个人到书店购买了一本书和一本杂志，在付钱时，他把书的定价中的个位上的数字和十位上的看反了，准备付21元取货。售货员说："您应该付39元才对。"请问书比杂志贵多少钱？

A. 20
C. 23
B. 21
D. 24

例题2：班级人数问题 四年级有4个班，不算甲班其余三个班的总人数是131人；不算丁班其余三个班的总人数是134人；乙、丙两班的总人数比甲、丁两班的总人数少1人，问这四个班共有多少人？

A. 177
C. 264
B. 178
D. 265

1.2.2鸡兔同笼问题

例题3 一试卷有50道判断题，规定每做对一题得3分，不做或做错一题扣1分。某学生共得分82分，问做对的题与不做或做错的题相差几道题？

A. 15 题
B. 16 题
C. 17 题
D. 18 题

2. 质数合数

2.1 核心概念

质数（素数） 在大于1的自然数中，除了1和它本身以外不再有其他因数的数。例如：2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19... 2是唯一一个为偶数的质数，也是最小的质数。
合数在大于1的自然数中，除了1和它本身以外还能被其他数（0除外）整除的数。例如：4, 6, 8, 9, 10, 12...
特殊数字：1 1既不是质数也不是合数。
重要性质
- 两个质数的和或差是奇数，那么其中必有一个是2。
- 两个质数的积是偶数，那么其中也必有一个是2。

例题： 已知3个质数的倒数和为 671/1022，则这3个质数的和为（）

A.80
B.82
C.84
D.86

3. 尾数特性

平方数的尾数只能是 0、1、4、5、6、9。这个规律可以通过观察各个个位数的平方得出： 0² = 0 (尾数为 0) 1² = 1 (尾数为 1) 2² = 4 (尾数为 4) 3² = 9 (尾数为 9) 4² = 16 (尾数为 6) 5² = 25 (尾数为 5) 6² = 36 (尾数为 6) 7² = 49 (尾数为 9) 8² = 64 (尾数为 4) 9² = 81 (尾数为 1) 10² = 100 (尾数为 0) 11² = 121 (尾数为 1)

4. 整除特性

4.1 整除及其余数判定法则

被2或5整除：看末一位。
- 末一位能被2（或5）整除，则整个数就能。
- 一个数被2（或5）除的余数，等于其末一位被2（或5）除的余数。
被4或25整除：看末两位。
- 末两位能被4（或25）整除，则整个数就能。
- 一个数被4（或25）除的余数，等于其末两位被4（或25）除的余数。
- 技巧：能被25整除的数，末两位必然是 00, 25, 50, 75。
被8或125整除：看末三位。
- 末三位能被8（或125）整除，则整个数就能。
- 一个数被8（或125）除的余数，等于其末三位被8（或125）除的余数。
- 技巧：能被125整除的数，末三位必然是 000, 125, 250, 375, 500, 625, 750, 875。
被3或9整除：看各位数字之和。
- 各位数字之和能被3（或9）整除，则整个数就能。
- 推导：以三位数abc为例，abc = 100a + 10b + c = (99a + 9b) + (a+b+c)。因为 99a+9b 必能被3和9整除，所以整个数能否被3或9整除，完全取决于 a+b+c。
- 一个数被3（或9）除的余数，等于其各位数字之和被3（或9）除的余数。

例题： 一个四位数"□□□□"分别能被15、12和10除尽，且被这三个数除尽时所得的三个商的和为1365，问四位数"□□□□"中四个数字的和是多少？

A. 17
B. 16
C. 15
D. 14

被7，11，13整除判定法则

核心技巧：末三位截断法 一个数能否被7、11或13整除，可以看它的末三位与末三位以前的数字组成的数之差（大减小）能否被7、11或13整除。推导：原理是 1001 = 7 \times 11 \times 13。任何一个多位数 N 都可以写成 1000A + B 的形式（B是末三位数）。因为 N = 1001A - A + B = (7 \times 11 \times 13)A - (A-B)。所以 N 能否被7、11、13整除，只取决于 A-B 能否被它们整除。
- 被7整除
  - 例：278208，用 278 - 208 = 70，70能被7整除，所以278208能被7整除。
- 被11整除
  - 例：127479，用 479 - 127 = 352。352 / 11 = 32。能整除。
  - 补充方法：奇偶位差法。奇数位之和(9+4+2=15) - 偶数位之和(7+7+1=15) = 0。0能被11整除。
- 被13整除
  - 例：12740，用 274 - 1 = 273。273 / 13 = 21。能整除。

拓展

合数因数分解后，能同时被各互质因数整除，如28和4、7
- 质合性、被合数整除：将合数因数分解后，能同时被各互质因数整除，如被28整除需同时被4和7整除。
三个连续自然数中
- （1）至少有1个是偶数，
- （2）必有3的倍数【（3k，3k+1，3k+2，其中一定有一个是3的倍数）】。
- （3）三个连续的自然数之和（积）能被3整除。3个连续自然数之和能被3整除【a+（a+1）+（a+2）=3×（a+1）】。
- （4）3个连续自然数之积能被6整除，因为一定同时有3因子和2因子。
四个连续的自然数之和是偶数，但不能被4整除
- a+a+1+a+2+a+3=4a+6

应用

题目出现 2、4、8、3、9 等的倍数
题目出现倍数、分数、百分数、比例、分组等字眼。
题目中出现"各个数位之和

例题： 一辆汽车第一天行驶了5个小时，第二天行驶了600公里，第三天比第一天少行驶200公里，三天共行驶了18个小时。已知第一天的平均速度与三天全程的平均速度相同，问三天共行驶了多少公里？

A. 900
C. 1100
B. 800
D. 1000

5. 倍数特性

5.1 因子倍数

5.1.1 列方程换算成一个未知数看倍数关系

例题： 甲乙两队举行智力抢答比赛，两队平均得分为92分，其中甲队平均得分为88分，乙队平均得分为94分，则甲乙两队人数之和可能是:

A.20
C.23
B.21
D.25

解析：

例题： 某企业20多名员工参加拓展训练，共准备了16箱饮用水。每人饮用6瓶后，将剩下的1箱半分配给所有女员工，正好每人分1 瓶。问参加拓展训练的男员工有多少人？

A. 10
C. 12
B. 11
D. 13

解析：

例题： 某超市购入每瓶200毫升和500毫升两种规格的沐浴露各若干箱，200毫升沐浴露每箱20瓶，500毫升沐浴露每箱12瓶。定价分别为 14 元/瓶，和25元/瓶。货品卖完后，发现两种规格沐浴露的销售收入相同，那么这批沐浴露中，200毫升的最少有几箱？

A．3
C．10
B．8
D．15

解析：

5.2 比例倍数

适用：倍数，百分数，分数，比例

5.2.1 两数分别为a的倍数，相加的和也为a的倍数

例题： 某汽车坐垫加工厂生产一种汽车座垫，每套成本是144 元，售价是200元。一个经销商订购了120套这种汽车座垫，并提出：如果每套座垫的售价每降低2元，就多订购6套。按经销商的要求，该加工厂获得最大利润需售出的套数是：

A. 144
C. 128
B. 136
D. 142

解析：

5.2.2 百分数

例题： 某公司去年有员工830人，今年男员工人数比去年减少6%，女员工人数比去年增加5%，员工总数比去年增加3人，问今年男员工有多少人？

A. 329
C. 371
B. 350
D. 504

解析：

例题： 公司三名销售人员2011年的销售业绩如下：甲的销售额是乙和丙销售额的1.5倍，甲和乙的销售额是丙的销售额的5倍，已知乙的销售额是56万元，问甲的销售额是：

A. 140 万元
C. 98 万元
B. 144 万元
D. 112 万元

解析：

例题： 某单位组织参加理论学习的党员和入党积极分子进行分组讨论，如果每组分配7名党员和3名入党积极分子，则还剩下4名党员未安排；如果每组分配5名党员和2名入党积极分子，则还剩下2名党员未安排。问参加理论学习的党员比入党积极分子多多少人？

A. 16
C. 24
B. 20
D. 28

解析：

例题： 在某公司年终晚会上，所有员工分组表演节目。如果按7 男5女搭配分组，则只剩下8名男员工；如果按9男5女搭配分组，只剩下 40 名女员工。该公司员工总数为

A. 446
C. 508
B. 488
D. 576 解析：

例题： 一些员工在某工厂车间工作，如果有4名女员工离开车间，在剩余的员工中，女员工人数占九分之五，如果有4名男员工离开车间，在剩余的员工中，男员工人数占三分之一。原来在车间工作的员工共有（）名。

A. 36
C. 48
B. 40
D. 72 解析：

5.2.3 比例倍数

若 $a : b = m : n$

若 $a : b = m : n$ ，则

\frac{a}{b} = \frac{m}{n} \quad \text{或} \quad a = \frac{m}{n} b \quad (m, n \text{互质，} m : n \text{不能继续约分}),

则：

$a$ 是 $m$ 的倍数
$b$ 是 $n$ 的倍数
$a + b$ 是 $m + n$ 的倍数
$a - b$ 是 $m - n$ 的倍数

公式为：

\frac{a}{a + b} = \frac{m}{m + n}

例如

\frac{男}{女} = \frac{7}{4}

则：

男生一定是7的倍数，男生人数是总人数的 $\frac{7}{11}$
女生一定是4的倍数，女生人数是总人数的 $\frac{4}{11}$
总人数是11的倍数，男生人数 + 女生人数 = 总人数的 $\frac{7}{11} + \frac{4}{11} = 1$
男女之差是3的倍数，男生人数 - 女生人数 = 总人数的 $\frac{7}{11} - \frac{4}{11} = \frac{3}{11}$

4. 隔级比重

已知 $A$ 是 $C$ 的 $\frac{1}{a}$ ， $B$ 是 $A$ 的 $\frac{1}{b}$ ，则 $B$ 是 $C$ 的

\frac{1}{a \times b}

示例：

如：东区参赛人数占总人数的 $\frac{1}{5}$ ，东区参赛人数的 $\frac{1}{3}$ 获奖，则东区参赛人数占总人数 $\frac{1}{15}$ 。

因此，总人数是 5 和 3 的倍数，也是 15 的倍数。

6. 公约数和公倍数

Here's a beautified version of the content using markdown:

6.1 约数与倍数

若数a能被b整除，则称数a为数b的倍数，数b为数a的约数。其中，一个数的最小约数是1，最大约数是它本身。

公约数与最大公约数

几个自然数公有的约数，叫做这几个自然数的公约数。公约数中最大的一个，称为这几个自然数的最大公约数。

公倍数与最小公倍数

几个自然数公有的倍数，叫做这几个自然数的公倍数。公倍数中最小的一个，称为这几个自然数的最小公倍数。

考试题型一般是已知两个数，求它们的最大公约数或最小公倍数。

6.2 方法技巧

（1）两个数最大公约数和最小公倍数求取方法：一般采用短除法，即用共同的质因数连续去除，直到所得的商互质为止。

把共同的质因数连乘起来，就是这两个数的最大公约数。
把共同的质因数和各自独有的质因数连乘起来，就是这两个数的最小公倍数。如：求24、36的最大公约数与最小公倍数。

解析：

24、36的最大公约数：
- 24 = 2 × 2 × 2 × 3
- 36 = 2 × 2 × 3 × 3
- 共同的质因数是2和3，最大公约数是2 × 2 × 3 = 12
24、36的最小公倍数：
- 24 = 2 × 2 × 2 × 3
- 36 = 2 × 2 × 3 × 3
- 共同质因数和各自独有的质因数连乘起来，最小公倍数是2 × 2 × 2 × 3 × 3 = 72

（2）三个数最大公约数和最小公倍数的求取方法

求取三个数的最大公约数时，短除至三个数没有共同的因数(除1外)，然后把所有共同的质因数连乘起来。
求取三个数的最小公倍数时，短除到三个数两两互质，然后把共同的质因数和各自独有的质因数连乘起来。

如：求24、36、90的最大公约数和最小公倍数

解析：

24、36、90的最大公约数：
- 24 = 2 × 2 × 2 × 3
- 36 = 2 × 2 × 3 × 3
- 90 = 2 × 3 × 3 × 5
- 共同的质因数是2和3，最大公约数是2 × 2 × 3 = 12
24、36、90的最小公倍数：
- 24 = 2 × 2 × 2 × 3
- 36 = 2 × 2 × 3 × 3
- 90 = 2 × 3 × 3 × 5
- 共同质因数和各自独有的质因数连乘起来，最小公倍数是2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 5 = 360

6.3 多位数之和

例题： 一个四位数"□□□□"分别能被15、12和10除尽，且被这三个数除尽时所得的三个商的和为1365，问四位数"□□□□"中四个数字的和是多少？

A. 17
C. 15
B. 16
D. 14

解析：

6.4 周期问题

例题： 甲，乙，丙，丁每人隔不同的天数去健身房健身，甲2 天去一次，乙3天去一次，丙4天去一次，丁5天去一次，上周星期日四人在健身房同日健身，下一次四人同日去健身房健身是星期几?

A.星期四
C.星期六
B.星期五
D.星期日

解析：

例题： A、B、C、D四人去羽毛球馆打球，A每隔5天去一次，B每隔11天去一次，C每隔17天去一次，D每隔29天去一次。5月18 日，四个人恰好在羽毛球馆相遇，下一次相遇的时间为

A.9 月18日
C.11 月14 日
B.10 月14日
D.12 月18日

解析：

例题： 甲、乙、丙三个办公室的职工参加植树活动，三个办公室人均植树分别为4，5，6棵，三个办公室植树总数彼此相等。问这三个办公室总共至少有多少职工?

A.37
C.74
B.53
D.106

解析：

例题： 两个派出所某月内共受理案件160起，其中甲派出所受理的案件中有17%是刑事案件，乙派出所受理的案件中有20%是刑事案件，问乙派出所在这个月中共受理多少起非刑事案件？

A. 48
C. 72
B. 60
D. 96

解析：

例题： 甲、乙两个班各有40多名学生，男女生比例甲班为5∶ 6，乙班为5∶4。则这两个班的男生人数之和比女生人数之和：

A. 多1人
C. 少1人
B. 多2人
D. 少2人 解析：

例题： 古希腊数学家丢番图（Diophantus）的墓志铭：过路人，这儿埋葬着丢番图，他生命的六分之一是童年；再过了一生的十二分之一后，他开始长胡须，又过了一生的七分之一后他结了婚；婚后五年他有了儿子，但可惜儿子的寿命只有父亲的一半，儿子死后，老人再活了四年就结束了余生。根据这个墓志铭，丢番图的寿命为：

A. 60
C. 77
B. 84
D. 63 解析：

以下是使用 Markdown 和 LaTeX 美化后的内容，符合全文的 Markdown 规范：

6.5 余数问题

（一）基本形式

被除数 = 除数 × 商 + 余数（都是正整数）

（二）同余

两个整数 $a$ 、 $b$ 除以自然数 $m$ ，所得余数相同。

同余定义：两个整数 $a$ 、 $b$ 除以自然数 $m$ ( $m > 1$ )，所得余数相同，则称整数 $a$ 、 $b$ 对自然数 $m$ 同余。

例如：23 除以 5 的余数是 3，18 除以 5 的余数也是 3，则称 23 与 18 对于 5 同余。

（三）口诀

余同取余，和同加和，差同减差，最小公倍做周期

余同取余，公倍数做周期：除 3、4、10 都余 1， $60n + 1$

如果一个数除以几个不同的数，余数相同，这个数表示成除数的最小公倍数的倍数 + 余数。

例：一个数除以 3 余 1，除以 4 余 1，除以 10 余 1，则这个数可以表示为 $60n + 1$ ，60 是 3、4、10 的最小公倍数， $n = 0, 1, 2, \ldots$
和同加和，公倍数做周期：除数 + 余数相同，除 5 余 4，6 余 3，8 余 1， $120n + 9$

一个数除以几个不同的数，除数 + 余数相同，则这个数可以表示成这几个除数的最小公倍数的倍数 + 该和（除数与余数之和）。

例：一个数除以 5 余 4，除以 6 余 3，除以 8 余 1，则这个数可以表示为 $120n + 9$ ，120 是 5、6、8 的最小公倍数， $9 = 5 + 4 = 6 + 3 = 8 + 1$ ， $n = 0, 1, 2, \ldots$

证明：要解决同余方程组：

\begin{cases} x \equiv 4 \pmod{5} \\ x \equiv 3 \pmod{6} \\ x \equiv 1 \pmod{8} \end{cases}

并求出 $x \mod \text{lcm}(5,6,8)$ 的余数，我们可以按照以下步骤进行：

步骤 1：计算最小公倍数（LCM）

首先计算 5、6 和 8 的最小公倍数：

\text{lcm}(5,6,8) = \text{lcm}(5, 2 \times 3, 2^3) = 2^3 \times 3 \times 5 = 120

因此，我们需要求解 $x \mod 120$ 的余数。

步骤 2：合并同余方程

我们先合并后两个同余方程：

\begin{cases} x \equiv 3 \pmod{6} \\ x \equiv 1 \pmod{8} \end{cases}

假设 $x = 8k + 1$ ，代入第一个同余方程：

8k + 1 \equiv 3 \pmod{6} \\ 8k \equiv 2 \pmod{6}

由于 $8 \equiv 2 \pmod{6}$ ，上式化简为：

2k \equiv 2 \pmod{6} \\ k \equiv 1 \pmod{3}

即 $k = 3m + 1$ ，代入 $x = 8k + 1$ 得：

x = 8(3m + 1) + 1 = 24m + 9

因此，我们得到：

x \equiv 9 \pmod{24}

步骤 3：结合第一个同余方程

现在，我们有：

\begin{cases} x \equiv 9 \pmod{24} \\ x \equiv 4 \pmod{5} \end{cases}

设 $x = 24m + 9$ ，代入第二个同余方程：

24m + 9 \equiv 4 \pmod{5} \\ 24m \equiv -5 \pmod{5} \\ 24m \equiv 0 \pmod{5}

因为 $24 \equiv 4 \pmod{5}$ ，所以：

4m \equiv 0 \pmod{5} \\ m \equiv 0 \pmod{5}

即 $m = 5n$ ，代入 $x = 24m + 9$ 得：

x = 24 \times 5n + 9 = 120n + 9

因此：

x \equiv 9 \pmod{120}

结论

满足给定同余条件的数 $x$ 除以 120 的余数是 9。

差同减差，公倍数做周期：除数 - 余数相同，除 3 余 1，4 余 2，10 余 8， $60n - 2$

如果一个数除以几个不同的数，除数与余数之差相同，则这个数可以表示成这几个除数的最小公倍数的倍数与该差（除数与余数之差）相减的形式。

例：一个数除以3余1，除以4余2，除以10余8，则这个数可以表示为60n-2，60 是3、4、10 的最小公倍数，2=3-1=4-2=10-8，n=0，1，2，...

例题： 一批武警战士平均分成若干小组执勤。如果每3 人一组则剩2人，如果每4人一组则剩3人，如果每5人一组则剩4人。这批武警战士至少有( )人。：

A. 19
C. 79
B. 59
D. 119

解析：

例题： 一个三位数除以9余7，除以5余2，除以4余3，这样的三位数共有：：

A.5 个
C.7 个
B.6 个
D.8 个

解析：

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